진동주기가 더 큰 쪽은?

회전축에 대해서 자유롭게 진동할 수 있는 막대가 있다. 막대의 끝에 원판을 덧붙이는데, (A)의 경우 원판이 중심축에 대해서 자유롭게 회전할 수 있지만, (B)의 경우는 고정되어 있다. 막대를 진동시킬 때 주기가 더 긴 쪽은?

1. A

2. B

3. 같다.

4. 막대의 모양과 원판의 크기에 따라 달라질 수 있다.

* 강체의 에너지 관점에서 접근하면 복잡한 과정 없이도 답을 추론할 수 있다.

 

 

https://kipl.tistory.com/506  풀이:

물체의 운동방정식을 쓰면,

$$ m \frac{d^2 x }{dt^2} = -2 k (\sqrt{x^2 +h^2}- h) \times \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$$

$ h  \gg  |x|$이므로  정리하면 다음의 운동방정식을 얻는다.

$$ \frac{d^2 x }{dt^2} = -\frac{k}{m h^2}x^3 = -D x^3 ,\qquad D=\frac{k}{mh^2} $$

이 방정식을 적분하면 주기 공식을 얻을 수 있지만 여기서는 차원해석을 쓰자. 운동방정식에 관여하는 물리량은 $D$와 초기조건에 해당하는 진폭($A$) 뿐이므로 주기는 이 두 물리량의 조합으로 쓰여져야 한다. 

$$ T = C D^\alpha A^\beta$$여기서 $C$는 차원이 없는 상수이다. 양변의 차원을 비교하면 $\alpha=-1/2$, $\beta=-1$이어야 한다. 따라서 주기를

$$T = \frac{C}{\sqrt{D}A}$$

처럼 표현할 수 있으므로 진폭이 2배 되면 주기는 절반으로 줄어든다.