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무거운 용수철이 늘어난 길이는?

Physics/역학 2022. 2. 25. 21:27

질량 $m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi></math>$ 인 무거운 용수철에 연결된 질량 $M <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>$ 인 물체를 힘 $F <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>$ 를 주어 당기고 있다. 용수철이 늘어난 길이는? 단, 용수철 상수는 $k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math>$ 이다.

1. $2m+M2k(m+M)F<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mi>F</mi></math>$

2. $m+2M)2k(m+M)F<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>M</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mi>F</mi></math>$

3. $m+Mk(2m+M)F<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mi>F</mi></math>$

자연상태(길이 $= L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>L</mi></math>$ )의 용수철에 늘렸을 때 왼쪽에서 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 만큼 떨어진 지점이 $f (x) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 만큼으로 늘어난다면 미소부분 $d x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mi>x</mi></math>$ 는 $d x + d f <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>f</mi></math>$ 의 길이로 된다. 그리고 미소부분의 용수철 상수는 $k L / d x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mi>L</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></math>$ 이다 (용수철은 짧게 만들면 용수철 상수가 커진다).

용수철이 가속도 $a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 로 움직인다면 늘어난 미소부분에 걸리는 장력이 왼쪽 부분과 물체 $M <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math>$ 을 가속시키므로

$T=kLdxdf=kLdfdx=(mLx+M)a<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>T</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mfrac><mi>L</mi><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mi>d</mi><mi>f</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>L</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">(</mo></mrow><mfrac><mi>m</mi><mi>L</mi></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">)</mo></mrow><mi>a</mi></math>$

을 얻는다. 따라서

$dfdx=ak(mL2x+ML) ⟹ f(x)=a2k(m(xL)2+2MxL)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi>a</mi><mi>k</mi></mfrac><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mfrac><mi>m</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>M</mi><mi>L</mi></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mtext> </mtext><mo stretchy="false">⟹</mo><mtext> </mtext><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi></mrow></mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">(</mo></mrow><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">(</mo></mrow><mfrac><mi>x</mi><mi>L</mi></mfrac><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>M</mi><mfrac><mi>x</mi><mi>L</mi></mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo minsize="1.623em" maxsize="1.623em">)</mo></mrow></math>$

물체와 용수철에 작용하는 외력이 $F <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi></math>$ 이므로

$a=Fm+M→ ∴<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>F</mi><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi></mrow></mfrac><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mo stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mo>∴</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>M</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>M</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mi>F</mi></math>$

확인:

m = 0

인 경우 늘어난 길이는

\frac{F}{k}

이어야 한다. 그리고

m ≫ M

인 경우는

\frac{F}{2 k}

이어야 한다.

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1. $m g / k$

2. $m g / 2 k$

3. $m g / 3 k$

4. $m g / 4 k$

5. 정보가 부족

풀이:

slinky의 꼭대기에서 $y$ (자연 상태에서 위쪽에서 잰 위치)만큼 떨어진 부분이 무게 때문에 $y + f (y)$ 만큼 내려왔다고 하자. 이 $f (y)$ 가 무게 때문에 추가로 얼마나 더 쳐지는가를 알려주는 함수다. 미소 부분 $d y$ 는 $d y + d f$ 만큼 늘어난다. 이 미소 부분의 FBD을 그리면 위쪽으로는 $T$ 가 작용하고, 아래쪽으로는 미소길이의 무게와 $λ g d f$ 와 $T + d T$ 가 작용한다( $d T < 0$ ). $T$ 는 미소길이가 늘어났기 때문에 생기는 장력으로, 미소길이에 해당하는 용수철 상수는 $k L / d y$ 다: 용수철의 직렬 연결로 생각하면 길이가 짧아질수록 용수철은 더 딱딱해진다. 따라서, 장력을 미소길이의 늘어난 정도로 표현하면

$T = (k \frac{L}{d y}) d f = k L \frac{d f}{d y}$

그리고 $T$ 는 나머지 아래의 무게를 지탱하므로 (또는 미소길이 부분에 뉴턴 법칙을 적용해서 얻은 식 $d T = - λ g d y, T (0) = λ g L$ 을 적분하던지)

$T = (L - y) λ g$

두 식을 연립하면

$\frac{d f}{d y} = \frac{λ g}{k L} (L - y)$

을 얻는다. 이 식은 단위길이당 slinky가 늘어나는 비율이 $y = 0$ 에서 제일 크고, $y = L$ 에서는 0임을 보여준다. 이식을 적분하면 전체적으로 늘어난 길이의 누적합은

$f (y) = \frac{λ g}{k L} (L y - \frac{1}{2} y^{2}) = \frac{m g}{k} (\frac{y}{L} - \frac{y^{2}}{2 L^{2}})$

따라서

$f (L) = \frac{m g}{2 k}$

추가로 slinky의 무게중심은 얼마나 내려갔을까

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