Geometry & Recognition

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$ mg \frac{L}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2~\longrightarrow~ \omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$ F_h = m \frac{L}{2} \omega^2 = \frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$ \tau = mg\frac{L}{2} = \frac{1}{3} mL^2 \alpha~\longrightarrow~ \alpha = \frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$  mg - F_v = m a_t = m \frac{L}{2} \alpha  ~\longrightarrow ~F_v = \frac{1}{4}mg $$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}mg$.

이전 문제(https://kipl.tistory.com/528)와 마찬가지로 b,c,e는 등전위이고, d,g,f도 등전위이다. 충전이 완료된 경우 축전기로 흐르는 전류가 없음을 고려하면 전체 등가저항은 10/3옴이다. 따라서 배터리에서 나오는 전류는 $\frac{6~\text{V}}{10/3~\Omega}=1.8A$이고, 축전기에 걸리는 전위차는 $5\Omega$에 걸리는 전위차와 같으므로 $5\Omega \times \frac{1.8~\text{A}}{3}=3~\text{V}$이다. 축전기에 저장된 전하는 $\rm (5~\mu F) \times (3~V)=15~\mu F$

b, c, e에서 h로 가는 최단 경로는 모두 같은 (4->3)옴이나 (5->3)옴의 두가지 조합으로만 표시되므로 이 세지점은 등전위다. 마찬가지로 d, g, f에서 a로 가는 최단 경로도 (4->2)옴, (5->2)옴의 두 가지 조합만으로 표시되므로 역시 등전위이다. 등전위 꼭지점을 가지는 삼각형 bce와 gdf는 4옴(cd), 5옴(cg), 5옴(bd), 4옴(bf), 4옴(eg), 5옴(ef) 6개 저항이 병렬로 연결된 모양이므로 두 삼각형 사이의 등가저항은 20/27옴이다. 따라서 전체 등가저항은 2/3 + 20/27 + 1 = 65/27옴. 

수평방향의 외력이 없으므로 운동량이 보존된다. 처음 차가 움직이는 속도로 움직이는 좌표게에서 보면 총 운동량은 0이다. 공이 가장 아래에 내려왔을 때 차와 공의 속도(차와 같이 움직이는 계)를 각각 $v_1$, $v_2$라면 $u = v_2 - v_1$이고, $Mv_1  + mv_2 =0$이다. 따라서 $v_1 = - mu / (m+M)$, $v_2 = Mu / (m+M)$이다. 다시 지상계로 돌아가면 차의 속도는 $V + v_1 = V - mu /(m+M)$임을 알 수 있다. 

내부 한 점 P에서 전기장은 구면의 각 지점의 전하가 기여하는 전기장의 합인데, 그림처럼 대칭적으로 그린 미소 입체각에 해당하는 미소 면적(A와 C, 또는 B와 D)내의 전하가 P점에서 만드는 전기장은 방향은 서로 반대이고 크기는 같기 때문에(P에서 거리가 멀면 그 제곱에 비례해서 면적이 늘어나서 전하가 증가하지만 전기장 세기는 거리의 제곱에 반비례하므로) 상쇄되어 0이 된다(가우스 법칙으로 쉽게 보일 수도 있다). 따라서 적도면에서 같은 각만큼 기울어진 반구상의 같은 미소 입체각을 갖는 두 미소 면적 A와 B의 전하는 각 미소면적에서 P을 향하는 방향으로 방향의 전기장을 만드는데 그 크기는 같음을 알 수 있고, 더하면 적도면 수평성분은 사라져서 수직성분만 남게 된다.