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$$I=\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^4}$$

이 적분을 구하기 위해 $z=0$에 branch point를 가지는 복소함수

$$f(z)=\frac{\log  z }{1+z^4}$$

을 고려하자. branch cut을 $+x$으로 선택하고 그림과 같은 contour에 대해서 $f(z)$를 적분을 한다.

$f(z)$는 $z=e^{i(2k+1) \pi/4}, ~(k=0,1,2,3)$에 simple pole을 가진다.

$$\oint_{C} f(z) dz = \left( \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_R} + \int_{C_\epsilon} \right) f(z)dz.$$

$C_R$에 대한 적분은 $z=Re^{i\theta}$로 쓰면,

$$ \left| \int_{C_R} f(z) \right| =\left| \int_0^{2\pi} \frac{\log R + i \theta }{ 1 +R^4 e^{i4 \theta} } iR e^{i \theta} d \theta  \right| < (2\pi R) \frac{ \log  R + 2\pi }{R^4 -1} \rightarrow 0, \quad R \rightarrow \infty.$$ 

$C_\epsilon$에 대한 적분은 $z= \epsilon e^{i \theta}$로 쓰면

$$\left|  \int_{C_\epsilon} f(z) dz \right| = \left| \int_{2\pi}^0 \frac{ \log  \epsilon+ i \theta }{ 1+ \epsilon^4 e^{i 4\theta} } i \epsilon e^{i \theta } d \theta \right|  < (2\pi\epsilon) \frac{|\log \epsilon | + 2\pi }{1-\epsilon^4 } \rightarrow 0, \quad \epsilon \rightarrow 0  $$

$C_1$에서 $z=x e^{i0}, x: 0\rightarrow \infty$이고, $C_2$에서 $z= x e^{i 2\pi}, ~x: \infty \rightarrow 0$

$$ \int_{C_1 + C_2} f(z) dz = \int_0^\infty \frac{ \log x }{ 1+ x^4} dx + \int_\infty^0 \frac{\log x + i 2 \pi }{1+ x^4} dx = -i 2\pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}.$$

Residue 정리에 의해서 

$$ \oint_{C} f(z)dz = i 2\pi \sum_{k=0}^{3}\text{Res}(z=e^{i (2k+1) \pi/4}) = -i 2\pi \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

이므로 

$$  I = \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

임을 확인할 수 있다.

아래는 Mathematica를 이용하여 얻은 결과다.

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Posted by helloktk

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영상처리에서 영상에서 분리된 객체의 형상을 기술할 때 moment를 많이 사용한다. 영상은 각 픽셀 위치에서 컬러값이 할당된 일종의 2 변수 함수로 생각할 수 있다. 영상의 모멘트는 픽셀 위치(의 단항식)를 컬러값으로 가중치를 주어서 낸 평균이라고 간단하게 기술할 수 있다.  이미지가 $I(x, y)$로 주어진 경우 $p+q$-차 moment는

$$m_{pq} = \iint x^p y^q I(x, y) dxdy, \quad p,q=0,1,2,3...$$

로 정의한다. 그러나 이 정의는 똑같은 형상이라도 원점에서 얼마나 떨어진 위치에 있는가에 따라 결과가 달라지므로 (원점의 선택에 의존되는 정의다. 객체를 구성하는 픽셀 개수를 알려주는 $m_{00}$는 불변이다.) 형상 기술에 적합한 형태가 아니다. 이 문제는 객체의 질량중심에 대한 상대 위치에 대한 weighed mean인 central moment를 feature 값으로 이용하면 된다:

$$ \mu_{pq} = \iint (x - \overline{x})^p ( y - \overline{y})^q I(x, y) dx dy$$

여기서 

$$\overline{x} = m_{10}/m_{00}, \quad \overline{y} = m_{01}/m_{00}$$

로 객체의 질량중심(center of mass)의 위치다. 0차 central moment는 원래의  moment와 같고, 1차 central moment는 질량중심이 원점이므로 0으로 주어진다: $\mu_{10}=\mu_{01}=0$. 이 central moment는 이미지에서 객체가 이동하더라도 동일한 값을 가진다.

 

그런데 같은 객체를 담은 이미지라도 확대하거나 축소하면 central moment의 값은 변하게 되므로 영상의 scale이 달라지는 경우는 central moment를 feature로 한 형상 판별하는 작업에는 적당하지 않을 수 있다. 이미지를 전체적으로 축소하거나 확대하더라도 같은 값을 주는 scale invariant인 moment 정의가 필요한데, 이는 central moment를 정규화시켜 사용하면 된다.

 

우선 이미지를 $\lambda$ 만큼 확대하거나 축소하면 변환된 이미지는 $I'(x', y') = I(x'/\lambda, y'/\lambda)$로 표현된다. 이 이미지에서 central moment를 계산하면

\begin{align} \mu'_{pq} &= \iint (x'- \overline{x'})^p ( y' - \overline{y'})^q I(x'/\lambda , y'/\lambda ) dx'dy'\\ &= \lambda^{p+q+2} \iint (x- \overline{x} )^p(y -\overline{y})^q I(x, y) dx dy \\ &= \lambda^{p+q+2} \mu_{pq} \end{align}

즉, 이미지를 scaling하면 $\mu_{pq}$는 scaling factor $\lambda$의 ${p+q+2}$ 지수승 만큼 변하게 된다. 이 변화를 없애기 위해서 양변을 제일 단순한 central moment인 $\mu_{00}^\gamma$로 나누어서 전체적인 scale factor가 사라지게 만들자. 그런데 $$\mu'_{00} = \lambda ^2 \mu_{00}$$

이므로

$$ \frac{ \mu'_{pq} }{ (\mu'_{00})^\gamma} = \lambda^{p+q+2-2\gamma} \frac{\mu_{pq}}{ (\mu_{00})^\gamma } $$

$\gamma$를

$$ \gamma = \frac{p+q}{2}+1$$

로 선택하면 다음의 normalized central moment는 scaling에 대해서 불변인 성질을 가진다.

$$ \eta_{pq} = \frac{\mu_{pq}}{\mu_{00}^\gamma}$$

이진 이미지에서 지름 $2a$인 원과 한 변이 $2a$인 정사각형에 대해서 2차 central moment을 구해보면

$$\text{circle: }~  \mu_{20}= \mu_{02}=\frac{\pi}{4} a^4 = 0.7854 a^4 ,~~\mu_{11}=0,$$

$$\text{rectangle: }~\mu_{20}=\mu_{02}=\frac{4}{3} a^4 = 1.3333 a^4, ~~\mu_{11}=0.$$

그리고 $\mu_{00}= \pi a^2~(\text{circle})$, $\mu_{00}= 4 a^2 ~(\text{rectangle})$이므로 2차 normalized central moment는

$$\text{circle: }~ \eta_{20}=\eta_{02} = \frac{1}{4\pi} = 0.07956,\quad \eta_{11}=0, $$

$$\text{rectangle:}~\eta_{20}=\eta_{02}=\frac{1}{12}=0.08333,\quad \eta_{11} = 0.$$

normalized central moment는 크기에 의존하지는 않지만 원과 사각형에서 분명한 차이를 보이므로 이미지에서 분리된 객체를 구별하는 기준으로 삼을 수 있을 것이다.

 

물론 normalzed central moment는 객체를 회전시키면 그 값이 다시 변하게 된다. 하지만 이들을 잘 조합하면 회전 불변인 성질까지 추가되는 invariant moment를 구성할 수 있다. 이차 central moment의 경우 질량중심에 대한 회전변환을 고려할 때 서로 다르게 변환하는 부분이 섞여 있는데 이를 분리하면

\begin{gather} \mu_{20}= \iint \left[ \frac{1}{2}(x^2-y^2) + \frac{1}{2}(x^2+y^2) \right] f(x, y) dxdy =T_{11} +\delta_{11} S ,\\ \mu_{11}= \iint xy I(x, y) dxdy = T_{12}+\delta_{12}S, \\ \mu_{02} = \iint \left[ -\frac{1}{2}(x^2 - y^2) +\frac{1}{2}(x^2+y^2) \right] dx dy= T_{22} + \delta_{22} S ,\\ T_{ij} = \iint \left[x_i x_j -\frac{1}{2}(x^2+y^2) \delta_{ij} \right] I(x, y) dxdy=\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc}\mu_{20} - \mu_{02} & 2\mu_{11} \\ 2\mu_{11}& -(\mu_{20}-\mu_{02}) \\\end{array} \right),\\ S= \iint (x^2 + y^2) I(x, y)dx dy =\mu_{20}+\mu_{02}   \end{gather}

로 쓸 수 있는데, $T_{ij}$는 회전변환에 대해서 rank가 2인 tensor의 성분을 구성하고, $S$는 $rank=0$인 scalar가 된다.  traceless인 $rank=2$인 텐서를 가지고 만들 수 있는 회전에 대해 invariant 한 양은 tensor의 determinant ($\det(T)$)인데, 이를 normalized central moment로 표현하면 (scaling 까지 고려하기 위해서)

$$ \text{det}(T) \propto (\eta_{20} - \eta_{02})^2 + 4 \eta_{11}^2 \quad (\text{up to a numerical factor})$$

로 쓸 수 있고, $rank = 0$ 인 부분($S$)은 그 자체로 회전에 불변이다. (물리적으로는 질량중심 축에 대한 rotational inertial에 대응하는 양이다). 

$$ \eta_{20} + \eta_{02}= \frac{1}{\mu_{00}^2} \iint (x^2 + y^2 ) I(x, y) dxdy$$

다른 회전 invariant한 양은 order가 3이상인 central moment를 이용해서 만든 rank=3 이상인 tensor의 invariant을 이용해서 얻을 수 있다.

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