벽에 세워진 막대의 아랫부분을 살짝 당겨서 미끄러지게 만들었다. 벽과 바닥에서 마찰이 없다고 할 때 막대가 벽에서 떨어지는 각도는?
1. 바닥에 닿을 때까지 떨어지지 않는다.
2. 바닥에 닿기 전에 벽에서 떨어진다.
3. 막대의 크기와 질량에 따라 떨어지는 위치가 다르다.
풀이는 https://kipl.tistory.com/442의 하단
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물체를 비스듬히 발사하면 포물선 경로를 그린다. 물체를 가장 멀리까지 보내기 위해서는 45도로 발사하면 된다. 그럼 물체가 움직이는 경로의 길이가 가장 길게 하려면 발사각을 얼마로 해야 하는가?
1. 45도
2. 45도 보다 작은 각
3. 45도 보다 큰 각
* 포물체 운동의 경로를 알아야 한다.
* 경로가 주워지는 경우 경로의 길이는 $\int_{t_i}^{t_f} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}dt$로 표현되고 직접 적분하거나 Mathematica 등을 이용하면 된다.
발사각이 45도보다 작으면 45도인 경로 안쪽에 들어가므로 답이 될 수 없다. 포물체 운동하는 물체의 위치가 $x(t)=v\cos \theta t$, $y(t) =v \sin \theta t -\frac{1}{2} g t^2$로 표현되므로 경로의 길이는
\begin{gather} L=2\int_0^{\frac{v\sin \theta}{g}} \sqrt{ \left(v\cos \theta \right)^2 + \left(v\sin \theta - gt \right)^2} dt\\=\frac{v^2}{g}\left( \sin \theta + \cos^2\theta \ln \frac{\sin \theta +1}{\cos \theta} \right) \end{gather}
로 표현된다. 극값을 구해보면
$$1=\sin \theta \ln \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$$
을 만족해야 하는데, $\theta \approx 56.5^\circ$임을 알 수 있다. 또 $\theta=0$일 때는 0, $\theta =90^\circ$일 때는 $v^2/g$로 주어진다.
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바닥에서 물체가 떨어지기 위해서는 추의 질량이 얼마 이상이 되어야 하는가? 단, 처음 용수철은 늘어나거나 압축되지 않는 상태이고 추는 정지상태에서 떨어진다.
1. $m/2$
2. $m$
3. $2m$
4. 용수철 상수에 따라 달라진다.
물체가 바닥에서 떨어지지 않을 때 추의 운동을 고려하자. 추(질량: $M$)을 놓는 순간 아래로 운동을 시작한다. 처음 위치에서 $d$만큼 내려왔을 때 용수철 탄성력과 추의 무게가 같아졌다면(평형 위치) $kd=Mg$인데, 추는 평형위치에서 움직이고 있으므로 관성에 의해서 더 내려간다. 에너지 보존을 생각하면 최대로 내려갈 수 있는 거리는 평형 위치에서 $d$ 만큼 아래까지다. 처음 위치에서 $2d$만큼 내려간 후 추는 순간 정지를 한다. 이 때 용수철은 최대로 늘어나므로 $m$에 가해지는 용수철의 힘도 최대가 되고, $2kd = 2Mg \ge mg$이면 바닥의 물체가 뜰 수 있게 된다.
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용수철이 늘어나거나 줄어들지 않는 상태에서 두 물체를 놓았다. 놓은 직후 가속도는?
1. $a_m=g/3~\uparrow$, $a_{2m}=g/3~\downarrow$
2. $a_m =a_{2m}=g ~\downarrow$
3. 용수철 상수에 따라 달라진다.
이 후 두 물체는 어떤 운동을 할까?
천장에서 잰 두 물체의 위치를 $x_1(t)$, $x_2(t)$, 줄의 길이를 $L$이라면 용수철의 늘어난 길이는 $x(t)=x_1(t) + x_2(t) -L$이다.
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추/막대가 수직이 될 때 사람이 보는 속력이 더 큰 쪽은(막대는 끝 지점)? 차는 처음 정지상태였고, 사람과 차의 총질량은 $9m$이다.
1. 추
2. 막대
3. 같다.
4. 정보부족
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