막대를 결합하는 힘은?

질량 $m$, 길이 $L$인 막대 4개의 끝을 연결해서 정사각형을 만든 후 중앙을 통과하는 축에 대해 회전을 시킨다. 막대와 막대를 연결하는 지점(꼭짓점)에 작용하는 힘의 크기는?

1. $mL \omega^2 /2$

2. $mL \omega^2 /\sqrt{2}$

3. $mL \omega^2 $

4. $\sqrt{2}mL \omega^2$

5. $2 mL \omega^2 $

 

* https://kipl.tistory.com/447의 풀이:

질량중심은 반지름 $r=L/2$인 원 위에 있다. 수직과 이루는 각이 $\theta$일 때 운동에너지는 (질량중심의 회전+ 질량중심축에 대한 회전)

$$ K= \frac{1}{2} m (r\dot{\theta})^2  (1+ \eta),~~~~\eta = \frac{1}{3}$$

이고 위치에너지의 감소는 $\Delta U = mgr (1-\cos \theta)$이므로,

$$ \frac{1}{2}m (r  \dot{\theta})^2 = mg r (1-\cos \theta)$$

따라서 질량중심의 속력은(순간적인 회전축이 $(L\sin \theta, L\cos \theta)$임) 

$$v= r\dot{\theta} = \sqrt{ \frac{2gr}{1+\eta}} \sqrt{1-\cos \theta}$$

벽에서 떨어지면 수평방향의 외력이 사라지므로 수평 성분은 일정해지고 그때 최댓값을 갖는다.

$$N_w=0 ~~\Leftrightarrow ~~v_x =v\cos \theta =\text{max}$$

구해보면

$$ \cos \theta = \frac{2}{3}~~~\text{or}~~\theta \approx 48.2^\circ$$

임으로 알 수 있다. 그리고 그 값은

$$ \text{max}(v_x) = \frac{\sqrt{2gr}}{3} = \frac{\sqrt{gL}}{3}$$

으로 주어진다.