Born approximation을 사용한 미분 산란 단면적의 계산은 potential의 세기가 입사파의 에너지보다 매우 작은 경우에만 유효한 방법이다. 여기서는 potential에 이와 같은 제약을 줄 필요가 없이 scattering amplitude $f(\theta)$을 구하는 방법을 알아보자. 이 경우에는 potential은 구대칭을 가지는 경우만 다룰 것이고, 입사파는 $z$-축 방향으로 보내진 평면파 $e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}$ 를 사용할 것이다. 이 평면파는 각운동량 연산자의 고유함수의 중첩으로 표현할 수 있다.
$$ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}= e^{i k r \cos \theta} =\sum _{\ell=0} ^\infty i^\ell (2\ell+1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta)$$ 산란를 기술하는 파동함수는 scattering 센터에서 충분히 먼 곳( $r\rightarrow\infty$)에서
$$ \psi(\vec{r}) \longrightarrow e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} + f(\theta) \frac{e^{ikr}} {r}= \sum _{\ell=0}^{\infty} i^\ell (2\ell+1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta) + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}$$의 형태를 가져야 한다. $r\rightarrow\infty$일 때 구면 Bessel 함수 $ j_{\ell}(kr) \rightarrow \frac{\sin(kr - \ell\pi/2)}{kr}$처럼 행동하므로 파동함수 $\psi(\vec{r})$는
\begin{align} \psi(\vec{r}) \longrightarrow &\sum _\ell i^\ell (2\ell + 1) P_\ell (\cos \theta) \frac{\sin (kr - \ell\pi/2)}{kr}+f(\theta) \frac{e^{ikr} }{r} \\ =& -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_\ell i^{2\ell} (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) + \frac{e^{ikr}}{r} \sum_\ell (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r} \\=& -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_\ell i^{2\ell} (2\ell + 1) P_\ell (\cos \theta) + \frac{e^{ikr}}{2ik r}\sum _\ell (2\ell + 1)(1+2ikf_\ell) P_\ell(\cos \theta) \end{align}과 같은 asymptotic 형태를 가진다. 여기서 scattering amplitude는 각운동량 성분별로
$$f(\theta) =\sum_\ell (2\ell +1) f_\ell P_\ell (\cos \theta)$$와 같이 전개하였다. Scattering center에서 먼거리에서 파동함수는 중심을 향해 들어가는 구형파$(e^{-ikr})$와 나오는 구형파$(e^{ikr})$의 중첩으로 표현됨을 알 수 있다.
이제 입사파를 만드는 기저 파동 ($j_\ell(kr)$)이 potential $V(r)$에 의해서 어떻게 왜곡이 되는지를 알아볼 것이다. 슈뢰딩거 방정식
$$ (\nabla^2 + k^2 )\psi (\vec{r}) = U(r) \psi(\vec{r}), \quad k^2 =\frac{ 2mE}{ \hbar^2}, ~U(r) = \frac{2m V(r)}{\hbar^2}$$의 가장 일반적인 해는
$$ \psi(\vec{r})= \sum _{\ell m } C_{\ell m } R_{k\ell} (r) Y_ {\ell m}(\theta, \varphi)$$ 쓸 수 있는데, 입사파 방향으로 회전 대칭성이 있으므로 $m=0$인 상태만 기여한다. $Y_{\ell0}(\theta, \varphi) \sim P_\ell (\cos \theta)$이므로
$$ \psi (\vec{r}) = \sum _\ell a_\ell i^\ell (2\ell+1) R_{k \ell} (r) P_\ell (\cos \theta)$$ 처럼 전개할 수 있다. 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 radial 함수는
$$ \left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} \right] (r R_{k \ell} (r) ) = U(r) (r R_{k \ell}(r))$$를 만족해야 한다. 이 방적식의 해는 Hankel 함수의 선형 결합으로 쓸 수 있다(또는 구면 Bessel과 Neumann 함수의 선형 결합).
$$R_{k\ell}(r)=A _\ell h_\ell^{(1)}(kr) +B_\ell h_\ell^{(2)} (kr) $$
두 함수의 asymptotic 전개를 이용하면
\begin{align} R_{k\ell} (r)~\rightarrow& ~A_\ell \frac{e^{ikr - \ell \pi/2}}{ikr} + B_\ell \frac{e^{ -i(kr -\ell\pi/2)}}{ikr} \end{align}처럼 된다. 따라서 scattering center에서 먼거리에서 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같은 partial wave 전개를 가진다.
\begin{align} \psi(\vec{r}) \rightarrow& \sum_\ell i^\ell (2\ell +1) \frac{ C_\ell e^{ikr - \ell\pi/2} - D_\ell e^{-(ikr - \ell \pi/2))} }{2ikr}P_\ell(\cos \theta) \\ =& \sum _\ell (2\ell + 1) \frac{ C_\ell e^{ikr} - D_\ell e^{-(ikr-\ell \pi)} } {2ikr} P_\ell (\cos\theta) \end{align}
두 전개를 비교하면 $D_\ell=1$이 되어야 함을 알 수 있다. 그리고
$$ \frac{C_\ell -1}{2ik} = f_\ell$$의 관계를 알 수 있다. 입자의 흡수나 다른 종류의 입자를 생성시키는 비탄성 충돌이 일어나는 경우 나가는 파동의 진폭이 줄어들어야 한다: $|C_\ell|<1$. 탄성 산란인 경우는 확률 보존을 고려하면 나가는 파와 들어오는 파의 진폭이 같아야 하므로 $|C_\ell|=1$이어야 하고, 이는 각 partial wave가 일정한 위상을 얻게 됨을 의미한다.
탄성 산란인 경우 $|C_\ell| = |1+2i k f_\ell|=1$이므로 다음과 같이 위상 천이(phase shift) $\delta_\ell$을 정의하자:
$$C_\ell= 1+2ik f_\ell = e^{2i\delta_\ell}$$ 그러면 scattering amplitude의 partial wave 성분은
$$f_\ell =\frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{ e^{i\delta_\ell}\sin \delta_\ell}{k}$$
이고 scattering amplitude는
$$ f(\theta) = \frac{1}{k} \sum_\ell (2\ell +1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell (\cos \theta)$$로 쓸 수 있다.
$\delta_\ell$을 써서 $R_{k\ell}(r)$을 표현하면, $A_\ell =\frac{C_\ell}{2}= \frac{1}{2}e^{2i\delta_\ell}$, $B_\ell = \frac{D_\ell}{2}= \frac{1}{2}$
\begin{align} R_{k\ell} (r) &= A_\ell h_\ell^{(1)}(kr) + B_\ell h_\ell^{(2)}(kr) \\ &= \frac{1}{2} e^{2i\delta_\ell} [ j_\ell(kr) + i n_\ell(kr) ] + \frac{1}{2} [j_\ell(kr) - i n_\ell(kr)] \\ &= e^{i \delta_\ell} [\cos \delta_\ell j_\ell(kr) - \sin \delta_\ell n_\ell(kr)] \\ &\longrightarrow \frac{\sin(kr -\ell \pi/2+\delta_\ell ) }{ kr} \end{align}
이다. 상호작용이 없을 때 radial 해 $j_\ell (kr)$가 상호작용이 켜지면 $R_{k\ell}(r)$로 바뀌게 되는데, $\delta_\ell$을 그 변형의 정도가 얼마인가를 측정하는 파라미터에 해당한다. 상호작용이 인력이면 산란파가 산란 중심으로 끌어당겨지게 되어 $\delta_\ell>0$이고, 척력이면 반대로 $\delta_\ell <0$임을 예측할 수 있다. phase shift $\delta_\ell$은 radial 해가 만족해야 할 경계조건으로 부터 구해진다.
이제 hard sphere scattering인 경우의 phase shift $\delta_\ell$을 구체적으로 구해보자. 반지름 $R$인 구의 내부에 입자가 들어갈 수 없으므로 $r=R$이 파동함수의 node가 된다:
$$ \psi(r=R) =0 \rightarrow j_\ell(kR)\cos \delta_\ell -n_\ell (kR)\sin\delta_\ell =0 \Rightarrow \tan \delta_\ell = \frac{j_\ell(kR)}{n_\ell (kR)}$$
입사하는 입자의 에너지가 매우 낮은 경우 각운동량 $\hbar kR \ll \hbar$이어서 s-wave($\ell=0$) 각운동량 상태만 산란에 기여할 것이다(높은 각운동량 상태의 기여는 매우 작아진다). 그리고 s-wave일 때 phase shift는$(j_0(x)=\sin(x)/x$, $n_0(x)=-\cos(x)/x )$
$$ \tan \delta_0 = \frac{\sin(kR)/kR}{-\cos(kR)/kR} ~\Rightarrow ~\delta_0 = -kR$$
로 주어진다. 따라서 미분 산란 단면적이
$$ \frac{d\sigma }{d\Omega} = |f(\theta)|^2 \simeq |f_0|^2 = \left| \frac{1}{k} \sin (kR)\right|^2 \simeq R^2 $$ 임을 알 수 있다. Hard sphere의 산란 단면적을 계산하면 $\sigma=4\pi R^2$ 인데 이는 기하학적인 산란 단면적의 4배에 해당한다.
