Geometry & Recognition

공과 내부 유체는 같이 병진 운동을 하므로 질량 중심의 운동 방정식은 $\sum F_x = (m+m) g\sin \alpha  - f = (m+m)a $

공 내부의 유체는 점성이 없으므로 공과 같이 회전하지 않는다. 따라서 질량 중심에 대한 회전 운동은 공의 회전만 고려하면 된다. 그리고 유체는 공의 회전을 영향을 주는 토크를 만들지 않으므로: $ \sum \tau_{cm} = fR=\left(  \frac{2}{3}mR^2  \right) \alpha =\frac{2}{3}mR^2 \frac{a}{R}= \frac{2}{3}mRa$

이 두 식에서 $$a=\frac{3}{4} g \sin \alpha $$

길이 $L$, 질량 $m$인 막대 진자의 운동 방정식을 쓰면

$$ I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - mg \frac{L}{2} \sin \theta$$

인데, 막대 끝 회전축에 대한 회전관성이 $I= \frac{1}{3} mL^2$이므로

$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{3g}{2L} \sin \theta$$

시간 $t~$를 차원이 없는 변수 $\tau = \sqrt{3g/2L}t~$로 바꾸면 운동 방정식은 

$$ \frac{d^2 \theta}{d\tau^2} = - \sin \theta$$

이다. 진동각 $\theta~$을 $\tau~$의 함수로 보면 처음 정지상태에서 같은 출발각($\theta_0$)을 가지고 운동을 시작하는 경우 $\theta(\tau)$는 길이나 질량에 무관하게 동일한 해로 표현된다(구체적으로 어떤 형태인지는 중요하지 않다). 따라서 $\tau~$에 대해서 동일한 주기를 갖게 된다. 길이가 $L$ 경우와 $4L$인 경우 시간 $t~$에 대한 주기는

$$ \sqrt{\frac{3g}{2L}} T_{L}= \sqrt{\frac{3g}{2(4L)}} T_{4L}~~\Longrightarrow~~\frac{T_{4L}}{T_{L}} = 2$$

이 식은 일반적인 출발각에 대해서 성립하는 관계이다. 작은 각 근사를 쓰는 경우 주기는 $T \propto \sqrt{L}~$이므로 역시 확인할 수 있다.