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빙판 위에서 회전하는 동전 붙잡기

Physics/역학 2025. 1. 6. 11:43

빙판 위에서 회전하는 동전의 가장자리 한 지점을 순간적으로 붙잡는다. 이후 동전의 중심이 움직이게 되는데 그 속도가 붙잡히기 직전 그 지점 속도(접선속도)의 1/5임을 보일 수 있다.

풀이:

붙잡는 과정에서 충격량 $\to J = J ˆ i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>J</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mi>J</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$ 이 동전에 전달된다(전제: 붙잡는 순간 동전면이 $y - z <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>-</mo><mi>z</mi></math>$ 평면에 있고, 위에서 내려다 볼 때 반시계방향으로 회전한다. 따라서 $\to ω = ω ˆ k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>ω</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mi>ω</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$ ). 붙잡힌 직후 운동량 변화는

$Δ \to P = J ˆ i <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>P</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mi>J</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$ 충격량은 각운동량도 변화시키므로 (붙잡힌 지점: $\to r P = R sin θ ˆ j + R cos θ ˆ k <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>P</mi></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>j</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mi>R</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$ )

$Δ \to L = \to r P \times Δ \to P = - J R sin θ ˆ k + J R cos θ ˆ j <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>L</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>=</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>P</mi></msub><mo>\times</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>P</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>j</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$

따라서 붙잡힌 직후 동전의 각운동량은

$\to L f = I z ω ˆ k - J R sin θ ˆ k + J R cos θ ˆ j <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>L</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>f</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>z</mi></msub><mi>ω</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>-</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE"></mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>j</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math>$

붙잡히 지점은 정지하므로

$\to v f = \to v cm + \to ω f \times \to r P = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>f</mi></msub><mo>=</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mtext>cm</mtext></msub><mo>+</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>ω</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>f</mi></msub><mo>\times</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mi>P</mi></msub><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$

$JMˆi−ωRsinθˆi+1Iz(JRsinθ)Rsinθˆi+1Iy(JRcosθ)Rcosθˆi=0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mi>J</mi><mi>M</mi></mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>−</mo><mi>ω</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>I</mi><mi>z</mi></msub></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msub><mi>I</mi><mi>y</mi></msub></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>J</mi><mi>R</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>R</mi><mi>cos</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>i</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$

그런데 $Iy=Iz=14MR2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>I</mi><mi>y</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>z</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>M</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>$ 이므로

$J=M5ωRsinθ<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>J</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mn>5</mn></mfrac><mi>ω</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi></math>$ 회전축에서 먼 지점을 붙잡을수록 더 큰 충격이 필요함을 알 수 있다. 붙잡히기 직전 그 지점의 접선 속력이

$vi=ωRsinθ → J=M5vi<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mi>ω</mi><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo data-mjx-texclass="NONE">⁡</mo><mi>θ</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>J</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>M</mi><mn>5</mn></mfrac><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub></math>$

이므로 붙잡힌 직후 질량중심이 움직이는 속력은

$vf,cm=JM=vi5<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>f</mi><mo>,</mo><mtext>cm</mtext></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>J</mi><mi>M</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mi>i</mi></msub><mn>5</mn></mfrac></math>$

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줄을 당기는데 필요한 힘은?

Physics/역학 2022. 2. 24. 22:20

바닥에 놓인 무거운 줄을 일정한 속도 $u <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi></math>$ 로 그림처럼 당긴다. 얼마의 힘이 필요할까? 줄은 바닥에서 미끄러지지 않고 부드럽게 접힌다고 생각할 수 있고, 줄의 선밀도는 $λ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>λ</mi></math>$ 다.

1. $2 λ u 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>λ</mi><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup></math>$

2. $λ u 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>λ</mi><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup></math>$

3. $12λu2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>λ</mi><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup></math>$

질문2: 줄의 모든 부분이 움직일 때까지 줄에 해준 일은 얼마인가?

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추의 속력은?

Physics/역학 2020. 11. 20. 09:58

높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)?

1. $\sqrt 8 g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$

2. $\sqrt 10 g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mn>10</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$

3. $35√8g<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$

4. $35√10g<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><msqrt><mn>10</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$

설명 보기

수직 아래로 4m를 내려오는 동안 추는 자유낙하를 한다. 이때 속도는 아래 방향이고 크기는 $v = \sqrt 2 g \times 4 = \sqrt 8 g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mo>\times</mo><mn>4</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$ 다. 줄이 팽팽해지면 줄 방향으로는 순간적으로 충격력이 주어지고, 이 때문에 줄 방향 성분은 0이 된다. 줄에 수직인 방향 성분은 충격력이 없으므로 그대로 남아서 $v⊥=35√8g<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">⊥</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac><msqrt><mn>8</mn><mi>g</mi></msqrt></math>$

Q2: 줄이 팽팽해진 이후 추는 처음 높이까지 다시 올라갈 수 있을까?

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