Geometry & Recognition

주어진 공간에서 전하 분포가 주어지면 전위 함수가 결정이 된다. 전하 분포가 $\rho_1$일 때 전위 함수를 $V_1$, 전하 분포가 $\rho_2$일 때 전위 함수를 $V_2$라고 하자. 그러면 Gauss 법칙과 발산 정리를 사용해서 다음의 Green's reciprocity theorem를 증명할 수 있다. $\nabla \cdot \vec{E}_i = \rho_i / \epsilon_0$, $\vec{E}_i = -\nabla V_i$ 이므로

\begin{align} \int \rho_1 V_2 d^3x &= \epsilon_0 \int (\nabla\cdot\vec{E}_1 )  V_2 d^3x \\ &= \epsilon_0 \int \nabla\cdot (V_2 \vec{E}_1)d^3x -\epsilon_0 \int (\nabla V_2)\cdot \vec{E}_1  \\ &= \epsilon_0 \int \vec{E}_1 \cdot \vec{E}_2 d^3x \\ &= -\epsilon_0 \int (\nabla V_1)\cdot \vec{E}_2 d^3 x  \\ &= \int V_1 \rho_2 d^3x \end{align}

이 식을 이용하면 같은 공간에서 전하 배치의 단순성 때문에 전위를 구하기 쉬운 경우를 이용해서 더 복잡한 전하 배치 상황에서 전위나 또는 전위가 주어진 경우 전하 등에 대한 정보를 얻을 수 있다.

간단히 예로 평행판 축전기를 살펴보자. 두 극판을 접지시키고 사이에 점전하를 넣으면 각 극판에는 반대 부호의 전하가 유도된다. 가우스 법칙을 쓰면 그 둘의 합은 $-q$됨을 쉽게 알 수 있다. 그러면 얼마의 비로 나뉠까? 물론 $q$에 가까운 쪽 극판에 더 많은 전하가 몰릴 것은 예상할 수 있다. 

이 문제는 도체와 점전하이므로 영상 전하법을 이용해서 풀 수도 있지만, 이 정리를 사용하는 것이 더 간단하다. 이를 위해 좀 더 단순한 정전기 상황을 만들자. 접지를 없애고 한 극판 ($x=0$)에는 균일하게 양전하를, 반대 극판($x=d$)에는 동일한 양의 음전하로 균일하게 대전시키면(구성 1) 사이에서 전위는 $$V_1(x)= V_0 \left( 1- \frac{x}{d}\right) $$로 쉽게 구할 수 있다. 점전하를 넣은 경우(구성 2)는 구성 1의 전하가 있는 극판에서 전위를 안다. 따라서 reciprocity theorem을 쓰면 구성 2일 때 극판에 모이는 전하가 얼마인가를 알 수 있다. 구성 1의 $\rho_1$은 극판에서만 0이 아니고, 구성 2의 $V_2$는 접지때문에 극판에서 $V_2(x=0)=V_2(x=d)=0$이므로 

$$\rho_1 = \sigma\delta(x) -\sigma \delta(x-d)$$

$$\int \rho_1 V_2 d^3x =\int_{x=0} \rho_1\times (0)d^3x + \int_{x=d} \rho_1 \times (0) d^3x= 0+0= 0$$

그리고 구성 2에서 점전하 $q$ 때문에 $x=0$ 극판에 유도되는 총전하를 $q_0$, $x=d$ 극판에 유도되는 총전하를 $q_1$라면 $q_0 + q_1 = -q$이다. 또 

$$\rho_2 =\sigma_0(y,z) \delta(x)+\sigma_1(y,z) \delta(x-d) + q\delta(\vec{r}-a\hat{i})$$

$$\int_{x=0} \sigma_0(y,z)d^2x = q_0, \quad \int_{x=d} \sigma_1(y,z) d^2x = q_1$$

\begin{align} \int \rho_2 V_1 d^3x &= V_1(0) \int_{x=0} \rho_2 d^3 x + V_1(d)\int_{x=d} \rho_2 d^3x + V_1(a)\int_{x=a} \rho_2 d^3x \\ &=  V_0 q_0  +  0 \times q_1  + V_0 \left(1-\frac{a}{d}\right) q \end{align}인데 이 값은 0이므로 

$$q_0 = -q \frac{d-a}{d}, \quad q_1 = -q \frac{a}{d}$$

임을 알 수 있다. 즉 점전하 $q$가 가까이 있는 극판에 더 많은 반대 부호의 전하가 유도된다.

또 다른 예는 반지름 $R$인 도체구를 접지시키고 중심에서 $d>R$만큼 떨어진 지점에 점전하 $q$을 가져다 놓았을 도체구에 유도되는 전하($q'$)를 구하는 문제다(구성 2). 접지가 안된 도체구에 전하를 주입하는 경우는 전하 분포와 전위는 쉽게 구할 수 있다(구성 1). 따라서 Green's reciprocity 정리를 이용하면 평행판 축전기와 마찬가지로 쉽게 해결할 수 있다. 물론 이 경우도 영상 전하법을 이용해도 된다.  

$$ \int \rho_1 V_2  d^3x = \int_{r=R} \rho_1 \times (0) d^3x = 0$$이고, 

$$\rho_2 = q\delta(\vec{r}-d \hat{k}) + R^2 \sigma'(\theta, \varphi)\delta(r-R),\quad q' = \int_{r=R}  \sigma' R^2 d\Omega$$

$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = V_1(R) \int_{r=R} \rho_2  d^3x + V_1(d) \int_{r>R}  q\delta(\vec{r}-d\hat{k}) d^3 x= q'\frac{kQ}{R} + q\frac{kQ}{d} $$ 이므로 둘을 비교하면 $$q' = -\frac{R}{d} q$$을 얻는다.

Green의 reciprocity 정리를 이용한 3 번째 예로는 전하가 없는 영역의 한 지점에서 전위는 그 점을 중심으로 하는 구면(전하가 없는 영역에 포함되어야 한다) 위에서 전위의 평균값과 같다는 정리의 증명이다(전하가 없는 영역에서 전위가 Laplace 방정식을 만족하는 조화함수임을 고려하면 당연한 성질이다). 이는 전위의 최대나 최소는 항상 전하가 있는 경계에서 나타남을 의미한다.

이제 전하 구성2는 구성1의 한 점(편의상 원점으로 잡으면 된다)을 중심으로 하는 작은 구면을 생각하자(구면은 물론 구성 1의 전하없는 영역에 포함되어야 한다). 구면을 균일하게 대전시키고, 중심에는 구면의 총전하와 정확히 반대 부호의 점전하가 놓인 상황을 고려하자: $\rho_2 = -q\delta(\vec{r})+ \frac{q}{4\pi R^2}\delta(r-R)$. 그러면 구면 밖에서는 전위가 0이다.

$$ \int \rho_1 V_2 d^3x = \int_{r>R} \rho_1 \times 0 d^3x + \int _{r<R} 0 \times V_2 d^3x = 0.$$

\begin{align} \int \rho_2 V_1 d^3x &= V_1 (0) \int_{r<R} (-q)\delta(\vec{r}) d^3x +  \frac{q}{4\pi R^2} \int  \delta(r-R) V_1  r^2drd\Omega + \int_{r>R} 0\times V_1 d^3x   \\ &= -q V_1 (0) + \frac{q}{4\pi  } \int_{r=R} V_1 d\Omega \end{align}

따라서

$$ V_1 (0) = \frac{1}{4\pi} \int _{r=R} V_1  d\Omega  = \text{average of $V_1$ on a sphere}$$

Born approximation을 사용한 경우 scattering ampitude는 

$$ f_B(\theta)=- \frac{m}{ 2\pi \hbar^2} \int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}' } V(r) e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}$$

로 얻어진다. $\vec{k}$는 입사파의 파수 벡터이고 $\vec{k}'$은 산란파의 파수 벡터로 둘의 사이각은 $\theta$이다. $\vec{r}'$과 $\vec{k}$의 사이각이 $\theta'$이고, $\vec{k}'$과 $\vec{r}'$의 사이각이 $\gamma$라 하자. 평면파를 각운동량 연산자의 고유함수로 전개를 하면

\begin{gather} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell i^\ell (2\ell+1) j_\ell(kr') P_\ell(\cos \theta')\\ e^{-\vec{k}'\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell(- i)^\ell (2\ell + 1) j_\ell(k'r') P_\ell (\cos \gamma)\end{gather}로 쓸 수 있다.

그리고 spherical harmonic의 addition 정리를 사용하면 ($\vec{k}: (\theta, \varphi)$,  $\vec{r}': (\theta', \varphi')$)

$$ P_\ell (\cos \gamma) =\frac{4\pi}{2\ell+1}  \sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}^*(\theta', \varphi') Y_{\ell m}^\vphantom{*} (\theta,\varphi)$$이 식들을 Born approximation에서 구한 scattering amplitude에 대입한 후 $\theta'$과 $\varphi'$의 적분을 하면 $m\ne0$인 항은 사라지고 남는 항은

$$ f_B(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \sum_\ell (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) \int_0^\infty dr r^2  V(r) (j_\ell(kr))^2$$로 정리된다.

Partial wave 전개에서 scattering ampitude가 

$$ f(\theta) =\frac{1}{k} \sum _\ell (2\ell+1)e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell (\cos \theta)$$

로 주어졌으므로 둘을 비교하면 

$$ e^{i \delta_\ell}\sin \delta_\ell = -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

임을 알 수 있다. $\delta _\ell$이 작은 경우 우변은 $\delta_\ell$로 근사할 수 있다. 이 경우 

$$  \delta_\ell  \approx -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

로  쓸 수 있다. 이 식을 보면 상호작용이 인력인 경우 $\delta_\ell>0$이고, 척력인 경우 $\delta_\ell<0$임을 알 수 있다.

$V(r)=-V_0 (r<R), ~0 (r>R)$일 때 s-wave phase shift는 ($kR \ll 1$)

$$\delta_0 \approx \frac{2m V_0}{k^2 \hbar^2} \int_0^{kR} dx \sin ^2 (x) =  \frac{mV_0}{k^2\hbar^2 }(kR- \cos (kR)\sin(kR)) \approx \frac{2mV_0}{3k^2 \hbar^2}(kR)^3 $$

Born approximation을 사용한 미분 산란 단면적의 계산은 potential의 세기가 입사파의 에너지보다 매우 작은 경우에만 유효한 방법이다. 여기서는 potential에 이와 같은 제약을 줄 필요가 없이 scattering amplitude $f(\theta)$을 구하는 방법을 알아보자. 이 경우에는 potential은 구대칭을 가지는 경우만 다룰 것이고, 입사파는 $z$-축 방향으로 보내진 평면파 $e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}}$ 를 사용할 것이다. 이 평면파는 각운동량 연산자의 고유함수의 중첩으로 표현할 수 있다.

$$ e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}= e^{i k r \cos \theta}  =\sum _{\ell=0} ^\infty i^\ell (2\ell+1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta)$$ 산란를 기술하는 파동함수는 scattering 센터에서 충분히 먼 곳( $r\rightarrow\infty$)에서

$$ \psi(\vec{r}) \longrightarrow e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}} + f(\theta) \frac{e^{ikr}} {r}= \sum _{\ell=0}^{\infty} i^\ell (2\ell+1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta)  + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}$$의 형태를 가져야 한다. $r\rightarrow\infty$일 때 구면 Bessel 함수 $ j_{\ell}(kr) \rightarrow \frac{\sin(kr - \ell\pi/2)}{kr}$처럼 행동하므로 파동함수 $\psi(\vec{r})$는  

\begin{align} \psi(\vec{r}) \longrightarrow &\sum _\ell i^\ell (2\ell + 1) P_\ell (\cos \theta)  \frac{\sin (kr - \ell\pi/2)}{kr}+f(\theta) \frac{e^{ikr}  }{r} \\ =&  -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_\ell i^{2\ell} (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) + \frac{e^{ikr}}{r}  \sum_\ell (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta)  + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}  \\=& -\frac{e^{-ikr}}{2ikr} \sum_\ell  i^{2\ell} (2\ell + 1) P_\ell (\cos \theta) + \frac{e^{ikr}}{2ik r}\sum _\ell   (2\ell + 1)(1+2ikf_\ell)   P_\ell(\cos \theta)  \end{align}과 같은 asymptotic 형태를 가진다. 여기서 scattering amplitude는 각운동량 성분별로 

$$f(\theta) =\sum_\ell (2\ell +1) f_\ell P_\ell (\cos \theta)$$와 같이 전개하였다. Scattering center에서 먼거리에서 파동함수는 중심을 향해 들어가는 구형파$(e^{-ikr})$와 나오는 구형파$(e^{ikr})$의 중첩으로 표현됨을 알 수 있다.

이제 입사파를 만드는 기저 파동 ($j_\ell(kr)$)이 potential $V(r)$에 의해서 어떻게 왜곡이 되는지를 알아볼 것이다.  슈뢰딩거 방정식

$$ (\nabla^2 + k^2 )\psi (\vec{r}) = U(r) \psi(\vec{r}), \quad   k^2 =\frac{ 2mE}{ \hbar^2}, ~U(r) = \frac{2m V(r)}{\hbar^2}$$의 가장 일반적인 해는

$$ \psi(\vec{r})= \sum _{\ell m } C_{\ell m } R_{k\ell} (r) Y_ {\ell m}(\theta, \varphi)$$ 쓸 수 있는데, 입사파 방향으로 회전 대칭성이 있으므로 $m=0$인 상태만 기여한다. $Y_{\ell0}(\theta, \varphi) \sim P_\ell (\cos \theta)$이므로

$$ \psi (\vec{r}) = \sum _\ell a_\ell   i^\ell (2\ell+1) R_{k \ell} (r) P_\ell (\cos \theta)$$ 처럼 전개할 수 있다. 슈뢰딩거 방정식에 대입하면 radial 함수는 

$$ \left[ \frac{d^2}{dr^2} + k^2 -\frac{\ell(\ell+1)}{r^2} \right] (r R_{k \ell} (r) ) = U(r) (r R_{k \ell}(r))$$를 만족해야 한다. 이 방적식의 해는 Hankel 함수의 선형 결합으로 쓸 수 있다(또는 구면 Bessel과 Neumann 함수의 선형 결합).

$$R_{k\ell}(r)=A _\ell   h_\ell^{(1)}(kr) +B_\ell h_\ell^{(2)}  (kr)  $$

두 함수의 asymptotic 전개를 이용하면

\begin{align} R_{k\ell} (r)~\rightarrow& ~A_\ell   \frac{e^{ikr - \ell \pi/2}}{ikr}  + B_\ell \frac{e^{ -i(kr -\ell\pi/2)}}{ikr}  \end{align}처럼 된다. 따라서 scattering center에서 먼거리에서 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같은 partial wave 전개를 가진다.

\begin{align}  \psi(\vec{r}) \rightarrow&  \sum_\ell  i^\ell (2\ell +1) \frac{ C_\ell e^{ikr - \ell\pi/2} - D_\ell e^{-(ikr - \ell \pi/2))}    }{2ikr}P_\ell(\cos \theta) \\  =& \sum _\ell (2\ell + 1) \frac{ C_\ell e^{ikr} - D_\ell e^{-(ikr-\ell \pi)}   }  {2ikr}   P_\ell (\cos\theta) \end{align}

두 전개를 비교하면 $D_\ell=1$이 되어야 함을 알 수 있다. 그리고

$$ \frac{C_\ell -1}{2ik} = f_\ell$$의 관계를 알 수 있다. 입자의 흡수나 다른 종류의 입자를 생성시키는 비탄성 충돌이 일어나는 경우 나가는 파동의 진폭이 줄어들어야 한다: $|C_\ell|<1$. 탄성 산란인 경우는 확률 보존을 고려하면 나가는 파와 들어오는 파의 진폭이 같아야 하므로  $|C_\ell|=1$이어야 하고, 이는 각 partial wave가 일정한 위상을 얻게 됨을 의미한다. 

탄성 산란인 경우 $|C_\ell| = |1+2i k  f_\ell|=1$이므로 다음과 같이 위상 천이(phase shift) $\delta_\ell$을 정의하자:

$$C_\ell= 1+2ik f_\ell = e^{2i\delta_\ell}$$ 그러면 scattering amplitude의 partial wave 성분은 

$$f_\ell =\frac{e^{2i\delta_\ell}-1}{2ik} = \frac{  e^{i\delta_\ell}\sin \delta_\ell}{k}$$

이고 scattering amplitude는 

$$ f(\theta) = \frac{1}{k} \sum_\ell (2\ell +1) e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell (\cos \theta)$$로 쓸 수 있다.

$\delta_\ell$을 써서 $R_{k\ell}(r)$을 표현하면, $A_\ell =\frac{C_\ell}{2}= \frac{1}{2}e^{2i\delta_\ell}$, $B_\ell = \frac{D_\ell}{2}= \frac{1}{2}$

\begin{align} R_{k\ell} (r) &= A_\ell h_\ell^{(1)}(kr) + B_\ell h_\ell^{(2)}(kr) \\ &= \frac{1}{2} e^{2i\delta_\ell} [  j_\ell(kr) + i n_\ell(kr) ] + \frac{1}{2} [j_\ell(kr) - i n_\ell(kr)] \\ &= e^{i \delta_\ell} [\cos \delta_\ell j_\ell(kr) - \sin \delta_\ell n_\ell(kr)] \\ &\longrightarrow   \frac{\sin(kr -\ell \pi/2+\delta_\ell ) }{ kr} \end{align}

이다. 상호작용이 없을 때 radial 해 $j_\ell (kr)$가 상호작용이 켜지면 $R_{k\ell}(r)$로 바뀌게 되는데, $\delta_\ell$을 그 변형의 정도가 얼마인가를 측정하는 파라미터에 해당한다. 상호작용이 인력이면 산란파가 산란 중심으로 끌어당겨지게 되어 $\delta_\ell>0$이고, 척력이면 반대로 $\delta_\ell <0$임을 예측할 수 있다. phase shift $\delta_\ell$은 radial 해가 만족해야 할 경계조건으로 부터 구해진다.

이제 hard sphere scattering인 경우의 phase shift $\delta_\ell$을 구체적으로 구해보자. 반지름 $R$인 구의 내부에 입자가 들어갈 수 없으므로  $r=R$이 파동함수의 node가 된다:

$$ \psi(r=R) =0 \rightarrow  j_\ell(kR)\cos \delta_\ell -n_\ell (kR)\sin\delta_\ell =0 \Rightarrow \tan \delta_\ell = \frac{j_\ell(kR)}{n_\ell (kR)}$$

입사하는 입자의 에너지가 매우 낮은 경우 각운동량 $\hbar kR \ll \hbar$이어서 s-wave($\ell=0$) 각운동량 상태만 산란에 기여할 것이다(높은 각운동량 상태의 기여는 매우 작아진다). 그리고 s-wave일 때 phase shift는$(j_0(x)=\sin(x)/x$, $n_0(x)=-\cos(x)/x  )$

$$ \tan \delta_0 = \frac{\sin(kR)/kR}{-\cos(kR)/kR} ~\Rightarrow ~\delta_0 = -kR$$

로 주어진다. 따라서 미분 산란 단면적이

$$ \frac{d\sigma }{d\Omega} = |f(\theta)|^2 \simeq |f_0|^2 = \left| \frac{1}{k} \sin (kR)\right|^2 \simeq R^2 $$ 임을 알 수 있다. Hard sphere의 산란 단면적을 계산하면 $\sigma=4\pi R^2$ 인데 이는 기하학적인 산란 단면적의 4배에 해당한다.

양자역학적 산란 과정을 알아보자. 실험적으로 산란은 입자를 target 입자에 보낸 후 거기서 나오는 입자의 방향 분포와 에너지 등을 조사하여 입사 입자와 목표 입자 사이의 상호작용의 특성을 알아보기 위해 수행한다. 양자역학적으로 산란 현상을 알기 위해서는 주어진 상호작용을 기술하는 포텐셜 에너지 $V(\vec{r})$ 하에서 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이다. 

$$ - \frac{\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (\vec{r}) = E \psi(\vec{r})$$

통상 입사 입자는 평면파 형태($e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}})$로 보내고 상호작용이 일어나는 곳에서 충분히 먼 지점에서 산란입자를 검출하므로 산란이 일어난 후 입자의 파동은 원래의 입사파에 구형파를 더한 것으로 근사할 수 있다. 따라서 위의 슈뢰딩거 방정식의 해는 $r \rightarrow \infty$에서 다음과 같은 형태를 가지도록, 즉 경계조건이 주어진다:

$$ \psi(\vec{r} )  \longrightarrow e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}  + \frac{ e^{i k r}}{r} f(\vec{k}, \theta , \varphi)$$

여기서 $f(\vec{k}, \theta, \varphi)$ 산란 진폭(scattering amplitude)으로 미분 산란 단면적은 이 값의 제곱에 해당된다.  또, 상호작용이 쿨롱의 힘처럼 중심력 형태로 주어지는 경우만 취급할 것이므로 산란 진폭은 입사파의 입사 방향($\vec{k}$) 축에 대한 회전 대칭성을 가지게 되어 $k$와 $\theta$에만 의존한다.

슈뢰딩거 방정식을 다음 방정식에 의해서 정의되는 Green 함수 $G(\vec{r}, \vec{r}')$, 

$$ (\nabla^2 + k^2)G(\vec{r}, \vec{r}')  = \delta(\vec{r}-\vec{r}'), \quad k^2 = 2mE/\hbar^2$$

를 이용해서 풀도록 하자. 먼저 $G(\vec{r},\vec{r}') = G(\vec{r}- \vec{r})$임을 알 수 있다. Green 함수를 쓰면 슈뢰딩거 방정식의 해는 (homogenous soln은 B/C을 고려한 것임)

$$ \psi(\vec{r})  =  e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} + \lambda \int d^3 r' G(\vec{r}, \vec{r}') U(r') \psi(\vec{r}')$$로 쓰여진다. 여기서 $U = \frac{2m V}{\hbar^2}$이고, $\lambda$는 perturbation의 depth를 세기 위해서 추가한 파라미터로 최종적으로는 $1$ 또는 포텐셜의 세기로 설정된다. Green와 델타 함수의 Fourier 전개

$$G(\vec{R})  =\frac{1}{(2\pi)^3 }\int d^3q e^{i \vec{q}\cdot \vec{R} } \tilde{G} ( \vec{q}),   \quad \vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}$$

$$ \delta (\vec{R}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3q e^{i\vec{q}\cdot \vec{R}}  $$

를 방정식에 대입하면 Green 함수의 Fourier 변환 $\tilde{G} (\vec{q})$는

$$ \tilde{G} (\vec{q}) = -\frac{1}{q^2 -k^2 }$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$G(R)  =-\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{ iR} \int_0^\infty dq q \frac{e^{iqR} - e^{-iqR}}{q^2-k^2} = -\frac{1}{8\pi^2}\frac{1}{iR} \int_{-\infty}^{\infty} dq q \frac{  e^{iqR}-e^{-iqR}}{q^2 - k^2} $$

위 적분은 $q=\pm k$에서 pole이 존재하여 발산하므로 적당한 regularization을 사용해 이를 피해야 한다. 이를 위해 복소평면으로 확장한 후 pole의 위치를 물리적인 상황에 맞도록 이동하도록 하자. 우리의 관심은 이 Green 함수를 사용해서 밖으로 나가는 구면파의 형태의 산란된 파동을 얻고 싶으므로 pole의 위치를 $\pm(k + i\epsilon)$으로 이동하자. 그러면 $e^{iqR}$ 항의 적분은 $k+i\epsilon$ 을 포함하는 upper half plane의 경로를 선택하고, $e^{-iqR}$ 항의 적분은 pole $-(k+i\epsilon)$을 포함하는 lower half plane에서 경로를 잡으면 된다. 이 regularization을 사용하면

$$ G(R)= -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikR}}{R} = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{i k |\vec{r}- \vec{r}|}} {|\vec{r}- \vec{r}'|}$$

임을 알 수 있다. 

따라서 슈뢰딩거 방정식의 formal 해는 

$$ \psi (\vec{r}) = e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}} - \frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r' \frac{  e^{i k |\vec{r}- \vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|  } U(r') \psi(\vec{r}') $$ 우변 항에 우리가 구하려는 $\psi(\vec{r})$이 포함되어 있는 적분 방정식 형태이지만, perturbation을 이용해서 해를 구하기 좋은 형태로 만들어졌다. 이 적분 방정식은 반복적인 근사를 사용해서 해를 구할 수 있다. 상호작용이 없는 경우 해는 입사파  $e^{i\vec{r}\cdot \vec{r}}$ 자신이고, 상호작용을 고려한 첫 번째 보정해는 우변의 $\psi(\vec{r}')$에 입사파를 넣어서 얻은 해일 것이고, 그 다음 찻수의 보정까지 고려한 해는 1차 보정해를 $\psi(\vec{r}')$에 넣어서 만들수 있다. 이런 식으로 낮은 보정해를 우변의 $\psi(\vec{r}')$에 넣어서 순차적으로 높은 보정해를 얻을 수 있다. 이때 보정의 찻수는 $\lambda$의 찻수로 헤아릴 수 있다 (Born approximation). 

\begin{align}   \psi(\vec{r}) =& e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} - \frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r' \frac{e^{i k|\vec{r}-\vec{r}'| }}{|\vec{r} -\vec{r}'|}    U(r') e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}'} \\ &+ \left(-\frac{\lambda}{4 \pi} \right)^2 \int d^3r'  \int d^3r''\frac{e^{  ik | \vec{r}-\vec{r}'|}}{ |\vec{r}-\vec{r}'|  } U(r') \frac{ e^{ i k|\vec{r}' - \vec{r}'' | }}{| \vec{r}' - \vec{r}'' |} U(r'') e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}'' } \\ &+O(\lambda^3)    \end{align}

산란 파동을 관측하는 곳은 상호작용이 일어나는 곳에서 매우 떨어진 위치이므로($|\vec{r}| \gg |\vec{r}'|$) 분모의 $1/|\vec{r}-\vec{r}'| \simeq 1/r$로 근사할 수 있고, 지수 함수의 인자 $k |\vec{r}-\vec{r}|$은

\begin{align} k |\vec{r}-\vec{r}'| &= k r \left[  1 + \left( \frac{r'}{r} \right)^2  - 2\frac{\vec{r}\cdot \vec{r}'}{r^2}\right]^{1/2} \\  &\simeq  kr - k\hat{r} \cdot \vec{r}' \end{align}

로 근사할 수 있다. 여기서 $k\hat{r}=\vec{k}'$은 측정하는 방향으로 날아오는 구형 산란파의 파수 벡터이다. 다시 해를 정리하면

$$ \psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{e^{ikr}  }{r} \left[  -\frac{\lambda }{4\pi } \int d^3r' e^{-i\vec{k}'\cdot \vec{r}'}   U(r') e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}  + O(\lambda^2) \right]$$

로 표현되므로 $[\cdots]$ 내부가 산란 진폭 $f(k, \theta)$에 해당함을 알 수 있다. 여기서는 첫번째 보정해만 관심이 있으므로 산란 진폭은

\begin{align} f_B(k, \theta) &= -\frac{\lambda}{4\pi}\int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}'} U(r') e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'}     \\      &= -\frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r'  e^{-i\vec{Q}\cdot\vec{r}'} U(r')  \end{align} 로 표현된다. 여기서 $\vec{Q} = \vec{k}' - \vec{k}$로 입사파에서 산란파로의 운동량 전달이다. Born approximation에서 $\theta$ 방향으로의 산란 진폭은 운동량 전달이 $\vec{Q}$일 potential 함수의 Fourier 변환으로 주어짐을 알 수 있다.

이제 구체적인 potential 형태로 먼저 Yukawa potential을 사용하자. 힘의 작용 범위가 $\xi$일 Yukawa potential은 

$$ \lambda V(r) =  \lambda  \frac{e^{-r /\xi }  }{r}$$

로 구대칭을 가진다. $\lambda$는 포텐셜의 세기까지 포한된 파라미터라고 생각하면 된다. Yukawa 포텐셜의 형태로 상호작용을 하는 경우 산란 진폭은 

\begin{align} f_B (k, \theta) &=    -\frac{m \lambda}{2\pi \hbar^2}  \int d^3 r e^{- i\vec{Q}\cdot \vec{r} } V(r)  \\ &= -\frac{m\lambda}{ \hbar ^2 Q } \int_0^\infty dr r e^{-r/\xi}  \sin(Qr)  \\  &= -\frac{2m\lambda}{\hbar^2 } \frac{1}{Q^2+1/\xi^2} \end{align}

두 번째 예는 쿨롱 포텐셜로 Yukawa potential에서 힘의 도달거리가 $\xi \rightarrow \infty$ 일 때에 해당한다. 이 경우 산란 진폭은 ($E= \hbar^2 k^2/2m$, $Q^2= k^2 + k'^2 - 2kk' \cos \theta=4k^2 \sin ^2(\theta/2)$)

\begin{align} f_B(k, \theta) =   -\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\frac{1}{Q^2}= -\frac{m \lambda}{2\hbar^2 k^2 }  \frac{1}{\sin^2(\theta/2)} = -\frac{\lambda}{4E\sin^2(\theta/2)}\end{align}이고 미분 산란 단면적은 

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_B(k, \theta)|^2 = \frac{\lambda^2}{16 E^2 \sin^4(\theta/2)}$$

이 결과는 고전이론을 써서 구한 결과와 동일하다. 쿨롱 포텐셜의 경우 총 산란 단면적은 발산한다. 이는 쿨롱힘이 모든 거리에서 작용하기 때문에 예측할 수 있는 결과이다.