충분히 긴 체인의 양끝을 책상과 바닥에 쌓은 후 그림처럼 도르래에 걸쳐 있게 잡고 있다. 체인이 움직일 수 있게 놓았을 때 그 속력을 시간의 함수로 구하라. 마찰과 도르래의 회전효과는 무시할 수 있다. 걸쳐있는 부분의 총 길이는 $\ell$이다.
풀이:
체인의 선밀도를 $\lambda$, 공중에 떠있는 체인의 길이를 각각 $\ell_L$, $\ell_R$이라면 오른쪽 부분에 작용하는 외력은 위쪽에서 작용하는 장력($\uparrow$)과 자체 무게($\downarrow$)가 있다. 이 둘의 합력이 왼쪽 부분의 운동량 변화를 일으키므로
$$ T - \lambda \ell_R g = \frac{dP_R}{dt}= \lambda \ell_R \frac{dv}{dt} + \lambda v^2 $$여기서 $\lambda v^2$은 책상 위에 정지한 체인을 속도 $v$로 변환시키는데 필요한 충격력이다. 왼쪽 부분에 작용하는 외력은 자체 중력($\downarrow$)과 위쪽으로 당기는 장력($\uparrow$), 그리고 바닥이 작용하는 충격력($\uparrow$)이 작용하므로 $$ \lambda \ell_L g - T -f_\text{floor}=\frac{dP_L}{dt}= \lambda \ell_L \frac{dv}{dt} -\lambda v^2 $$ $f_\text{floor}$는 체인이 바닥에 닿을 때 정지시키기 위해서 바닥이 작용하는 충격력으로 $f_\text{floor} = \lambda v^2$이다. 따라서
$$ \lambda g \ell_L - T= \lambda \ell_L \frac{dv}{dt} $$두 식을 더하면 ($\ell_L + \ell_R = \ell$)
$$ \frac{dv}{dt} + \frac{1}{\ell } v^2 = \frac{gh}{\ell}$$ 이 식의 해는 $$ v(t) = \sqrt{gh}\tanh \left(\frac{\sqrt{gh}}{\ell} t \right)$$
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