Geometry & Recognition

마찰이 없으므로 실린더의 회전운동은 없고, 위 실린더는 아래로 내려가는 운동을, 아래 실린더는 수평운동만 한다.  두 실린더가 접촉을 하는 동안 위쪽 실린더의 중심 높이를 $y$, 내려가는 속력은 $v_y$, 아래쪽 실린더의 수평위치를 $x$, 수평속도를 $v_x$, 그리고 두 실린더의 중심을 연결하는 선분이 수평과 이루는 각을 $\theta$라면

$$x=R+2R\cos \theta ,y=R+2R\sin \theta$$

$$v_x=-2R\sin \theta \frac{d\theta }{dt},v_y=2R\cos \theta \frac{d\theta }{dt}$$
역학적에너지 보존을 이용하면 

$$\frac{1}{2}M(v_x^2+v_y^2)=2MgR(1-\sin \theta )$$

$$\to v_x^2+v_y^2=4gR(1-\sin \theta )$$

$$\to {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=\frac{g}{R}(1-\sin \theta )$$

$$\therefore v_x^2=4Rg({\sin }^2\theta -{\sin }^3\theta )$$

따라서

$$\frac{d{v}_x^2}{dt}=4Rg\cos \theta (2\sin \theta -3{\sin }^2\theta )\frac{d\theta }{dt}=2v_x\frac{d{v}_x}{dt}$$

$$\to \frac{d{v}_x}{dt}=g\cos \theta (3\sin \theta -2)$$이므로 $$\sin \theta =\frac{2}{3}$$

일 때 최댓값에 도달한다.

$$(v_x{)}_{\text{max}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}\sqrt{Rg}$$

아래쪽 실린더는 위쪽 실린더가 접촉면에서 누르는 힘($\overrightarrow{R}$)의 수평성분에 의해 가속이 되는데 $\theta ={\sin }^{-1}(2/3)$에서 두 실린더의 접촉이 없어지므로 수평성분의 변화가 생기지 않는다.

$$R_x=M\frac{d{v}_x}{dt}=Mg\cos \theta (3\sin \theta -2)$$

윗쪽 실린더에 대해서도 확인하면,

$$v_y^2=4Rg{\cos }^2\theta (1-\sin \theta )$$

$$M\frac{d{v}_y}{dt}=-Mg+R_y$$

$$\to R_y=Mg+M\frac{d{v}_y}{dt}=Mg\sin \theta (3\sin \theta -2)$$어서 $R_y$도 0이 됨을 알 수 있다.

매우 서서히 움직인다고 했으므로 준정적평형상태(quasistatic equilibrium)로 생각할 수 있다. 막대(길이=$\ell$, 무게=$W$)가 수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 작용하는 힘을 $F$(가변적이다)라면

$$\sum F_x=f-F\sin \theta =0$$

$$\sum F_y=F\cos \theta -W+N=0$$

$$\sum {\tau }_{pivot}=F\ell -W\frac{\ell }{2}\cos \theta =0$$ 여기서 미끄러짐이 없기 위해서는 $f<\mu N$을 만족해야 하므로

$$\mu >\frac{f}{N}=\frac{F\sin \theta }{W-F\cos \theta }=\frac{\sin \theta \cos \theta }{2-{\cos }^2\theta }$$

우변의 최대값이 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$이므로 바닥과의 정지마찰계수는 이보다 커야 한다.