Geometry & Recognition

반구면의 미소면적 $\Delta A$에 작용하는 정전기력은 면에 수직하게 $\sigma \Delta A Q/(4\pi \epsilon_0 R^2) $ 만큼 작용한다. 따라서 정전기력이 구면에 만드는 압력은 $P = \sigma Q / (4\pi \epsilon_0 R^2)$이다. 반구면을 미소링으로 분해해서 이 압력이 만드는 알짜힘을 구할 수 있지만 적분을 사용하지 않는 다른 방법을 사용하자. 압력 $P$을 가지는 기체를 적도면이 닫힌 반구면에 가둘 때 압력이 만드는 알짜힘이 0이 되어야 하므로 반구면이 받는 알짜힘은 적도면이 받는 알짜힘과 같음을 알 수 있다. 그런데 압력이 적도면에 주는 힘은 모두 같은 방향이므로 단순하게  $\pi R^2 P= \sigma Q/(4\epsilon_0)$로 계산된다.

이전 문제(https://kipl.tistory.com/528)와 마찬가지로 b,c,e는 등전위이고, d,g,f도 등전위이다. 충전이 완료된 경우 축전기로 흐르는 전류가 없음을 고려하면 전체 등가저항은 10/3옴이다. 따라서 배터리에서 나오는 전류는 $\frac{6~\text{V}}{10/3~\Omega}=1.8A$이고, 축전기에 걸리는 전위차는 $5\Omega$에 걸리는 전위차와 같으므로 $5\Omega \times \frac{1.8~\text{A}}{3}=3~\text{V}$이다. 축전기에 저장된 전하는 $\rm (5~\mu F) \times (3~V)=15~\mu F$

b, c, e에서 h로 가는 최단 경로는 모두 같은 (4->3)옴이나 (5->3)옴의 두가지 조합으로만 표시되므로 이 세지점은 등전위다. 마찬가지로 d, g, f에서 a로 가는 최단 경로도 (4->2)옴, (5->2)옴의 두 가지 조합만으로 표시되므로 역시 등전위이다. 등전위 꼭지점을 가지는 삼각형 bce와 gdf는 4옴(cd), 5옴(cg), 5옴(bd), 4옴(bf), 4옴(eg), 5옴(ef) 6개 저항이 병렬로 연결된 모양이므로 두 삼각형 사이의 등가저항은 20/27옴이다. 따라서 전체 등가저항은 2/3 + 20/27 + 1 = 65/27옴. 

내부 한 점 P에서 전기장은 구면의 각 지점의 전하가 기여하는 전기장의 합인데, 그림처럼 대칭적으로 그린 미소 입체각에 해당하는 미소 면적(A와 C, 또는 B와 D)내의 전하가 P점에서 만드는 전기장은 방향은 서로 반대이고 크기는 같기 때문에(P에서 거리가 멀면 그 제곱에 비례해서 면적이 늘어나서 전하가 증가하지만 전기장 세기는 거리의 제곱에 반비례하므로) 상쇄되어 0이 된다(가우스 법칙으로 쉽게 보일 수도 있다). 따라서 적도면에서 같은 각만큼 기울어진 반구상의 같은 미소 입체각을 갖는 두 미소 면적 A와 B의 전하는 각 미소면적에서 P을 향하는 방향으로 방향의 전기장을 만드는데 그 크기는 같음을 알 수 있고, 더하면 적도면 수평성분은 사라져서 수직성분만 남게 된다.