두 극판이 접지된 평행판 축전기가 있다. 이제 아래 극판의 일부분을 전기적으로 분리한 후 전위가 $V$가 되게 만들었다. 이 상황에서 아래 극판에 모인 총 전하는(접지된 부분+ $V$의 전위가 걸린 부분)?
풀이: Laplace 방정식을 풀 수도 있지만 Green's reciprocity theorem(https://kipl.tistory.com/479)을 이용하자. 우선 같은 극판 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우를 찾으면, 아래 극판 전체가 $+\sigma$, 위쪽 극판 전체가 $-\sigma$로 대전된 경우 일 것이다(위쪽 극판 접지). 이 경우 전위함수는
$$V_1(z) = \frac{\sigma }{\epsilon_0} (d-z)~~~~0 \le z \le d$$
우리가 구하고자 하는 계에서 아래 극판의 정사각형 내부에 있는 총전하를 $Q_1$, 극판 나머지 부분에 분포한 총전하를 $Q_2$로 하자. 그리고 전위함수가 $$ V_2(x, y, z) = \left\{ \begin{matrix} V, & |x| \le a, ~|y|\le a ,~z=0 \\ 0, &\text{otherwise}\end{matrix}\right.$$ 로 주어지므로
$$ \int \rho_1 V_2 d^3x = 4a^2 \sigma V $$
\begin{align} \int \rho_2 V_1 d^3x &= \int_\text{square} \sigma_\text{square}(x, y,0) V_1(z=0) d^2x \\ &+ \int_\text{other} \sigma_\text{other}(x, y, 0) V_1(z=0) d^2x\\ &= (Q_2 + Q_1) V_1(0) \end{align}
$$ \to~~ Q_1 +Q_2 = 4a^2 \sigma \frac{V}{V_1(0)} =\frac{4\epsilon_0 a^2 V}{d} $$
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