Geometry & Recognition

각 비커를 정지상태로 만들기 위해 각각의 저울접시가 주는 힘(수직항력)을 구하자. 

왼쪽: 탁구공의 질량을 $m$, 받는 부력을 $B_1$이라면 줄에 걸리는 장력은 $T_1 = B_1-mg$이므로 비커가 받는 힘은(양쪽이 동일한 비커이므로 비커 질량=0으로 해도 무방함) 

$$ N_1 = W + B_1(reaction)-T_1= W + mg$$

왼쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커)+탁구공 무게다.

오른쪽: 쇠공이 받는 부력은 왼쪽 탁구공이 받는 부력과 같다: $B_2 = B_1 =\rho_w g V_\text{ball}$

$$N_2 =W + B_2(reaction)= W+ \rho g V_\text{ball}$$

오른쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커) 무게와 쇠구슬에 작용한 부력의 반작용이다.

따라서

$$N_2 - N_1 = \rho g V_\text{ball} - mg >0$$

왜냐면 탁구공의 무게($mg$)보다 같은 부피의 물무게($\rho g V_\text{ball}$)가 더 무겁기 때문이다. 따라서 수평을 유지하기 위해서는 오른쪽이 더 많이 지탱해야 하므로, 달리 말하며 오른쪽 저울 접시가 더 세게 눌리므로 저울을 오른쪽으로 기운다. 

통바닥 압력차에 의해서 물이 흐르는 방향이 결정된다. 물 속에서 압력은 깊이 $h$와 밀도 $\rho$에 의해서 정해진다:

$$p= p_0 + \rho g h$$

물을 가열하면 팽창하므로 밀도는 감소하고, 수면의 높이($h$)는 증가하게 된다. 압력은 이 둘의 곱에 의해서 결정되므로 통의 모양에 따라서 어떻게 변하는지를 파악하면 된다:

통의 모양이 사다리꼴이고 밀도는 단면적에 반비례한다(지면으로 들어가는 방향의 길이가 모두 같으므로).

사다리꼴의 단면적은 $S= wh$ ($w$ = 사다리꼴 중간에서 폭)로 주어지므로

$$\rho h \propto \frac{h}{S}=\frac{1}{w}$$

$A$가 팽창하면 수면의 높이가 올라가고 이에 따라 중간 폭($w$)도 증가한다. 따라서 바닥에서 압력은 감소한다.

반대로 $B$가 팽창하면 수면의 높이가 올라가지만 이에 따라 중간의 폭은 감소한다. 따라서 바닥에서 압력은 증가한다.