저울은 어느 쪽으로 기울까?

동일한 비커에 같은 양의 물을 채운 후 한쪽 비커에는 바닥에 연결된 줄로 탁구공을 완전히 잠기도록 만들었고, 다른 비커에는 스탠드와 줄을 이용해서 쇠공이 바닥에 닿지 않고 물속에 완전히 잠겨 있게 만들었다. 이 두 비커를 그대로 양팔 저울 위에 올리면 어느 쪽으로 기울까? 단, 탁구공과 쇠공의 부피는 같다. (이 문제는 googling을 하면 찾아볼 수 있을 정도로 유명하다)

1. 수평을 유지: 탁구공과 쇠공이 밀어낸 물의 부피가 같아 비커 바닥이 받는 압력도 동일하게 증가하므로
2. 탁구공 쪽: 쇠공은 스탠드가 지탱하여 영향이 없지만 탁구공의 무게는 결국 바닥이 받기 때문에
3. 쇠공 쪽: 부력은 같지만 탁구공에 연결된 줄은 위로 당겨 바닥을 누르는 힘이 감소시키므로

 

풀이:

물+비커의 자유물체도

각 비커를 정지상태로 만들기 위해 각각의 저울접시가 주는 힘(수직항력)을 구하자. 

왼쪽: 탁구공의 질량을 $m$, 받는 부력을 $B_1$이라면 줄에 걸리는 장력은 $T_1=B_1-mg$이므로 비커가 받는 힘은(양쪽이 동일한 비커이므로 비커 질량=0으로 해도 무방함) 

$$N_1=W+B_1(reaction)-T_1=W+mg$$

왼쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커)+탁구공 무게다.

 

오른쪽: 쇠공이 받는 부력은 왼쪽 탁구공이 받는 부력과 같다: $B_2=B_1={\rho }_{w}g{V}_{\text{ball}}$

$$N_2=W+B_2(reaction)=W+\rho g{V}_{\text{ball}}$$

오른쪽 저울접시가 받는 힘은 물(+비커) 무게와 쇠구슬에 작용한 부력의 반작용이다.

따라서

$$N_2-N_1=\rho g{V}_{\text{ball}}-mg>0$$

왜냐면 탁구공의 무게($mg$)보다 같은 부피의 물무게($\rho g{V}_{\text{ball}}$)가 더 무겁기 때문이다. 따라서 수평을 유지하기 위해서는 오른쪽이 더 많이 지탱해야 하므로, 달리 말하며 오른쪽 저울 접시가 더 세게 눌리므로 저울을 오른쪽으로 기운다.