어떤 천문학적인 사건으로 인해서 지구의 속도가 갑자기 0이 된다면 지구는 더 이상 공전운동을 하지 못하고 태양을 향해서 똑바로 떨어지기 시작할 것이다. 이 경우 태양에 추락하는데 얼마의 시간이 걸릴까?
힌트: 직접 운동방정식을 적분을 해서 구할 수 있다.
$$ \frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{GM_\text{sun}}{r^2}$$
한번 적분하면(또는 역학적 에너지 보존를 이용함면)
$$ \frac{1}{2} v^2- \frac{GM_\text{sun}} {r} = const= - \frac{GM_\text{sun}}{a}$$이므로
$$ T = -\frac{1}{\sqrt{2GM_\text{sun}}} \int_a^0 \frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{a}}}$$
$$ = \sqrt{\frac{a^3}{2GM_\text{sun} }} \int_0^1 \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \sqrt{\frac{a^3}{GM_\text{sun}}}$$ 그런데 반지름 $a$인 원궤도의 공전주기가 $$ T_a= 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM_\text{sun}}}=365~\text{days}$$이므로 $$T = \frac{1}{4\sqrt{2}} T_a$$임을 알 수 있다.
그렇지만 Keppler의 제3법칙을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고도 구할 수 있다. 지구는 태양을 한 초점으로 하는 장축반지름이 $a$인 타원(거의 원에 가까운) 궤도를 그리면서 공전운동을 한다. 지구의 공전속력이 0이 되면 중력의 당기는 방향인 태양을 향해서 똑바로 떨어지는데 이 직선 궤도는 장축반지름이 $a/2$이고 완전히 납작하게 눌린 타원궤도(이심률=1: 타원의 두 초점이 선분의 양끝에 있다)로 생각할 수 있다.
그리고 행성궤도는 케플러의 세 가지 법칙을 만족하는데, 특히 공전주기의 제곱은 타원 장축반지름의 세제곱에 비례한다. 따라서 장축반지름이 $a$일 때의 주기 $T_a=365~\text{days}$ (정상적인 공전운동)와 장축반지름이 $a/2$일 때 주기 $T_{a/2}$(직선운동)는 다음 관계를 만족한다.
$$ \frac{T_{a/2}^2 }{T_{a}^2} = \frac{(a/2)^3}{a^3} = \frac{1}{8}$$
$$ \to~~T_{a/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} T_a$$
떨어지는 데 걸리는 시간은 납작궤도 공전주기의 1/2이므로
$$ T = \frac{1}{2} T_{a/2} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \times ( 365~\text{days}) \approx 64.5~\text{days}$$
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