Geometry & Recognition

Born approximation을 사용한 경우 scattering ampitude는 

$$ f_B(\theta)=- \frac{m}{ 2\pi \hbar^2} \int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}' } V(r) e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}$$

로 얻어진다. $\vec{k}$는 입사파의 파수 벡터이고 $\vec{k}'$은 산란파의 파수 벡터로 둘의 사이각은 $\theta$이다. $\vec{r}'$과 $\vec{k}$의 사이각이 $\theta'$이고, $\vec{k}'$과 $\vec{r}'$의 사이각이 $\gamma$라 하자. 평면파를 각운동량 연산자의 고유함수로 전개를 하면

\begin{gather} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell i^\ell (2\ell+1) j_\ell(kr') P_\ell(\cos \theta')\\ e^{-\vec{k}'\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell(- i)^\ell (2\ell + 1) j_\ell(k'r') P_\ell (\cos \gamma)\end{gather}로 쓸 수 있다.

그리고 spherical harmonic의 addition 정리를 사용하면 ($\vec{k}: (\theta, \varphi)$,  $\vec{r}': (\theta', \varphi')$)

$$ P_\ell (\cos \gamma) =\frac{4\pi}{2\ell+1}  \sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}^*(\theta', \varphi') Y_{\ell m}^\vphantom{*} (\theta,\varphi)$$이 식들을 Born approximation에서 구한 scattering amplitude에 대입한 후 $\theta'$과 $\varphi'$의 적분을 하면 $m\ne0$인 항은 사라지고 남는 항은

$$ f_B(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \sum_\ell (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) \int_0^\infty dr r^2  V(r) (j_\ell(kr))^2$$로 정리된다.

Partial wave 전개에서 scattering ampitude가 

$$ f(\theta) =\frac{1}{k} \sum _\ell (2\ell+1)e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell (\cos \theta)$$

로 주어졌으므로 둘을 비교하면 

$$ e^{i \delta_\ell}\sin \delta_\ell = -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

임을 알 수 있다. $\delta _\ell$이 작은 경우 우변은 $\delta_\ell$로 근사할 수 있다. 이 경우 

$$  \delta_\ell  \approx -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

로  쓸 수 있다. 이 식을 보면 상호작용이 인력인 경우 $\delta_\ell>0$이고, 척력인 경우 $\delta_\ell<0$임을 알 수 있다.

$V(r)=-V_0 (r<R), ~0 (r>R)$일 때 s-wave phase shift는 ($kR \ll 1$)

$$\delta_0 \approx \frac{2m V_0}{k^2 \hbar^2} \int_0^{kR} dx \sin ^2 (x) =  \frac{mV_0}{k^2\hbar^2 }(kR- \cos (kR)\sin(kR)) \approx \frac{2mV_0}{3k^2 \hbar^2}(kR)^3 $$

양자역학적 산란 과정을 알아보자. 실험적으로 산란은 입자를 target 입자에 보낸 후 거기서 나오는 입자의 방향 분포와 에너지 등을 조사하여 입사 입자와 목표 입자 사이의 상호작용의 특성을 알아보기 위해 수행한다. 양자역학적으로 산란 현상을 알기 위해서는 주어진 상호작용을 기술하는 포텐셜 에너지 $V(\vec{r})$ 하에서 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것이다. 

$$ - \frac{\hbar^2 }{2m}\nabla^2 \psi (\vec{r}) + V(\vec{r}) \psi (\vec{r}) = E \psi(\vec{r})$$

통상 입사 입자는 평면파 형태($e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}})$로 보내고 상호작용이 일어나는 곳에서 충분히 먼 지점에서 산란입자를 검출하므로 산란이 일어난 후 입자의 파동은 원래의 입사파에 구형파를 더한 것으로 근사할 수 있다. 따라서 위의 슈뢰딩거 방정식의 해는 $r \rightarrow \infty$에서 다음과 같은 형태를 가지도록, 즉 경계조건이 주어진다:

$$ \psi(\vec{r} )  \longrightarrow e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}  + \frac{ e^{i k r}}{r} f(\vec{k}, \theta , \varphi)$$

여기서 $f(\vec{k}, \theta, \varphi)$ 산란 진폭(scattering amplitude)으로 미분 산란 단면적은 이 값의 제곱에 해당된다.  또, 상호작용이 쿨롱의 힘처럼 중심력 형태로 주어지는 경우만 취급할 것이므로 산란 진폭은 입사파의 입사 방향($\vec{k}$) 축에 대한 회전 대칭성을 가지게 되어 $k$와 $\theta$에만 의존한다.

슈뢰딩거 방정식을 다음 방정식에 의해서 정의되는 Green 함수 $G(\vec{r}, \vec{r}')$, 

$$ (\nabla^2 + k^2)G(\vec{r}, \vec{r}')  = \delta(\vec{r}-\vec{r}'), \quad k^2 = 2mE/\hbar^2$$

를 이용해서 풀도록 하자. 먼저 $G(\vec{r},\vec{r}') = G(\vec{r}- \vec{r})$임을 알 수 있다. Green 함수를 쓰면 슈뢰딩거 방정식의 해는 (homogenous soln은 B/C을 고려한 것임)

$$ \psi(\vec{r})  =  e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} + \lambda \int d^3 r' G(\vec{r}, \vec{r}') U(r') \psi(\vec{r}')$$로 쓰인다. 여기서 $U = \frac{2m V}{\hbar^2}$이고, $\lambda$는 perturbation의 차수를 세기 위해서 추가한 파라미터로 최종적으로는 $1$ 또는 포텐셜의 세기로 설정된다. Green와 델타 함수의 Fourier 전개

$$G(\vec{R})  =\frac{1}{(2\pi)^3 }\int d^3q e^{i \vec{q}\cdot \vec{R} } \tilde{G} ( \vec{q}),   \quad \vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}$$

$$ \delta (\vec{R}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int d^3q e^{i\vec{q}\cdot \vec{R}}  $$

를 방정식에 대입하면 Green 함수의 Fourier 변환 $\tilde{G} (\vec{q})$는

$$ \tilde{G} (\vec{q}) = -\frac{1}{q^2 -k^2 }$$

임을 알 수 있다. 따라서

$$G(R)  =-\frac{1}{4\pi^2}\frac{1}{ iR} \int_0^\infty dq q \frac{e^{iqR} - e^{-iqR}}{q^2-k^2} = -\frac{1}{8\pi^2}\frac{1}{iR} \int_{-\infty}^{\infty} dq q \frac{  e^{iqR}-e^{-iqR}}{q^2 - k^2} $$

위 적분은 $q=\pm k$에서 pole이 존재하여 발산하므로 적당한 regularization을 사용해 이를 피해야 한다. 이를 위해 복소평면으로 확장한 후 pole의 위치를 물리적인 상황에 맞도록 이동하도록 하자. 우리의 관심은 이 Green 함수를 사용해서 밖으로 나가는 구면파로 주어지는 산란된 파동을 얻고 싶으므로 pole의 위치를 $\pm(k + i\epsilon)$으로 이동하자. 그러면 $e^{iqR}$ 항의 적분은 $k+i\epsilon$ 을 포함하는 upper half plane의 경로를 선택하고, $e^{-iqR}$ 항의 적분은 pole $-(k+i\epsilon)$을 포함하는 lower half plane에서 경로를 잡으면 된다. 이 regularization을 사용하면

$$ G(R)= -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikR}}{R} = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{i k |\vec{r}- \vec{r}|}} {|\vec{r}- \vec{r}'|}$$

임을 알 수 있다. 

따라서 슈뢰딩거 방정식의 formal 해는 

$$ \psi (\vec{r}) = e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}} - \frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r' \frac{  e^{i k |\vec{r}- \vec{r}'|}}{|\vec{r}-\vec{r}'|  } U(r') \psi(\vec{r}') $$ 우변 항에 우리가 구하려는 $\psi(\vec{r})$이 포함되어 있는 적분 방정식 형태이지만, perturbation을 이용해서 해를 구하기 좋은 형태로 만들어졌다. 이 적분 방정식은 반복적인 근사를 사용해서 해를 구할 수 있다. 상호작용이 없는 경우 해는 입사파  $e^{i\vec{r}\cdot \vec{r}}$ 자신이고, 상호작용을 고려한 첫 번째 보정해는 우변의 $\psi(\vec{r}')$에 입사파를 넣어서 얻은 해일 것이고, 그 다음 찻수의 보정까지 고려한 해는 1차 보정해를 $\psi(\vec{r}')$에 넣어서 만들수 있다. 이런 식으로 낮은 보정해를 우변의 $\psi(\vec{r}')$에 넣어서 순차적으로 높은 보정해를 얻을 수 있다. 이때 보정의 찻수는 $\lambda$의 찾수로 헤아릴 수 있다 (Born approximation). 

\begin{align}   \psi(\vec{r}) =& e^{i \vec{k}\cdot\vec{r}} - \frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r' \frac{e^{i k|\vec{r}-\vec{r}'| }}{|\vec{r} -\vec{r}'|}    U(r') e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}'} \\ &+ \left(-\frac{\lambda}{4 \pi} \right)^2 \int d^3r'  \int d^3r''\frac{e^{  ik | \vec{r}-\vec{r}'|}}{ |\vec{r}-\vec{r}'|  } U(r') \frac{ e^{ i k|\vec{r}' - \vec{r}'' | }}{| \vec{r}' - \vec{r}'' |} U(r'') e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}'' } \\ &+O(\lambda^3)    \end{align}

산란 파동을 관측하는 곳은 상호작용이 일어나는 곳에서 매우 떨어진 위치이므로($|\vec {r}| \gg |\vec{r}'|$) 분모의 $1/|\vec{r}-\vec{r}'| \simeq 1/r$로 근사할 수 있고, 지수 함수의 인자 $k |\vec{r}-\vec{r}|$은

\begin{align} k |\vec{r}-\vec{r}'| &= k r \left[  1 + \left( \frac{r'}{r} \right)^2  - 2\frac{\vec{r}\cdot \vec{r}'}{r^2}\right]^{1/2} \\  &\simeq  kr - k\hat{r} \cdot \vec{r}' \end{align}

로 근사할 수 있다. 여기서 $k\hat{r}=\vec{k}'$은 측정하는 방향으로 날아오는 구형 산란파의 파수 벡터이다. 다시 해를 정리하면

$$ \psi(\vec{r}) = e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} + \frac{e^{ikr}  }{r} \left[  -\frac{\lambda }{4\pi } \int d^3r' e^{-i\vec{k}'\cdot \vec{r}'}   U(r') e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}  + O(\lambda^2) \right]$$

로 표현되므로 $[\cdots]$ 내부가 산란 진폭 $f(k, \theta)$에 해당함을 알 수 있다. 여기서는 첫번째 보정해만 관심이 있으므로 산란 진폭은

\begin{align} f_B(k, \theta) &= -\frac{\lambda}{4\pi}\int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}'} U(r') e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}'}     \\      &= -\frac{\lambda}{4\pi} \int d^3 r'  e^{-i\vec{Q}\cdot\vec{r}'} U(r')  \end{align} 로 표현된다. 여기서 $\vec{Q} = \vec{k}' - \vec{k}$로 입사파에서 산란파로의 운동량 전달이다. Born approximation에서 $\theta$ 방향으로의 산란 진폭은 운동량 전달이 $\vec{Q}$일 potential 함수의 Fourier 변환으로 주어짐을 알 수 있다.

이제 구체적인 potential 형태로 먼저 Yukawa potential을 사용하자. 힘의 작용 범위가 $\xi$일 Yukawa potential은 

$$ \lambda V(r) =  \lambda  \frac{e^{-r /\xi }  }{r}$$

로 구대칭을 가진다. $\lambda$는 포텐셜의 세기까지 포한된 파라미터라고 생각하면 된다. Yukawa 포텐셜의 형태로 상호작용을 하는 경우 산란 진폭은 

\begin{align} f_B (k, \theta) &=    -\frac{m \lambda}{2\pi \hbar^2}  \int d^3 r e^{- i\vec{Q}\cdot \vec{r} } V(r)  \\ &= -\frac{m\lambda}{ \hbar ^2 Q } \int_0^\infty dr r e^{-r/\xi}  \sin(Qr)  \\  &= -\frac{2m\lambda}{\hbar^2 } \frac{1}{Q^2+1/\xi^2} \end{align}

두 번째 예는 쿨롱 포텐셜로 Yukawa potential에서 힘의 도달거리가 $\xi \rightarrow \infty$ 일 때에 해당한다. 이 경우 산란 진폭은 ($E= \hbar^2 k^2/2m$, $Q^2= k^2 + k'^2 - 2kk' \cos \theta=4k^2 \sin ^2(\theta/2)$)

\begin{align} f_B(k, \theta) =   -\frac{2m\lambda}{\hbar^2}\frac{1}{Q^2}= -\frac{m \lambda}{2\hbar^2 k^2 }  \frac{1}{\sin^2(\theta/2)} = -\frac{\lambda}{4E\sin^2(\theta/2)}\end{align}이고 미분 산란 단면적은 

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f_B(k, \theta)|^2 = \frac{\lambda^2}{16 E^2 \sin^4(\theta/2)}$$

이 결과는 고전이론을 써서 구한 결과와 동일하다. 쿨롱 포텐셜의 경우 총 산란 단면적은 발산한다. 이는 쿨롱힘이 모든 거리에서 작용하기 때문에 예측할 수 있는 결과이다.