Geometry & Recognition

Euclidean 공간에서 Cauchy-Schwartz inequality는 두 벡터 내적의 크기는 두 벡터 크기의 곱보다 작음을 보여준다. 그러나 Minkowski 공간에서는 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 잘 알려진 특수상대성 이론에서의 쌍둥이 역설(역설이라 표현되어 있지만 실제로 역설은 아니다) 예를 이용해서 보이자. 두 쌍둥이 중 A는 지구에서 남아 있고  B는 일정한 속도로 우주여행을 한 후에 다시 지구로 돌아왔을 때 여행을 한 쌍둥이 B가 더 젊다는 것은 특수상대성 이론이 보여준 자연의 법칙의 한 단면이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우 시공간에서 경로는 직선(시공간 벡터)으로 표현이 된다. 그리고 이 직선의 길이는(*Minkowski space 임에 주의) 시공간에서 이 두 지점(event)을 연결하는 직선을 따라 움직이는 사람의 끝 위치에서 나이가 시작에서 보다 얼마나 더 들었는가를 나타낸다. 여행을 떠난 쌍둥이 B의 목적지까지 시공간 벡터를 $\mathbf{a}$, 목적지에서 다시 지구까지 시공간 벡터를 $\mathbf{b}$라고 하면  다시 지구에서 두 쌍둥이가 재회하므로 두 벡터의 합은 지구에 남아 있는 쌍둥이 A의 시공간 벡터 $\mathbf{c}$와 같다.

$$ \mathbf{c}= \mathbf{a}+\mathbf{b}$$

여행을 시작해서 끝날 때까지 지구에 남아 있는 쌍둥이 A가 먹은 나이는 $|\mathbf{c}|$, 여행을 한 쌍둥이 B의 나이는 $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ (목적지에서 방향을 바꾸는과정이 필요하므로 이보다 약간 더 먹는다). 두 쌍둥이가 다시 만났을 때 지구에 남아 있는 쌍둥이가 더 나이가 들어 있으므로

$$ |\mathbf{c}|  \ge |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$

이다. 양변을 제곱을 하면 다음과 같은 역 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다(Mikowski metric의 signature에 선택에 무관하게 만들기 위해서 다시 제곱을 하였다)

$$ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \ge |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$$ 

질량 $M_*$이고, 반지름이 $R_*$인 행성의 표면에 그림과 같이 밑변이 서로 연결된 $N$개의 물기둥(communicating vessels)을 고려하자. 각 물기둥의 단면적은 $A_i$이고, 처음 물기둥의 (별의 중심에서 잰) 높이는 $R_i  \ge R_*$로 되어 있다. 이웃하는 물기둥을 연결하는 밸브를 열기 전 물기둥에 담긴 물의 중력위치에너지는 (물의 밀도 $\rho$)

$$ U_\text{initial} = -\sum \int_{R_*}^{R_i} \frac{GM_*  \rho A_i dr}{r} = -GM_* \rho \sum A_i \ln \left( \frac{R_i}{R_*}  \right) $$

이제 관을 연결하는 밸브를 모두 열면 수압의 차이에 의해서 각 물기둥 사이에 물의 교환이 생기게 되고, 결국에는 모든 물기둥의 높이는 공통의 값 $R_i \to \overline{R}$을 가지게 되어 더 이상 물의 교환이 생기지 않는 평형상태에 도달한다. 이 과정에서 물의 총량(총 부피)은 보존이 되므로 

$$ \sum A_i (R_i - R_*) = \sum A_i ( \overline{R} - R_*) $$

를 만족하므로 평형상태에서 물기둥의 높이는
$$ \overline{R}  = \frac{\sum A_i R_i }{\sum A_i} = \sum p_i  R_i,\qquad p_i \equiv \frac{A_i}{\sum A_k }$$

물기둥이 평형에 이르기 위해서는 일부 에너지를 마찰등에 의해서 일어버리는 과정이 있어야 한다. 그렇지 않으면 각각의 물기둥은 영원히 출렁거리게 된다. 평형이 이르는 물리적인 프로세스가 다음의 부등식이 항상 성립함을 보증함을 알 수 있다.

$$ U_\text{initial} \ge U_\text{final}\\ -GM_*\rho\sum A_i  \ln \left( \frac{R_i }{R_*} \right) \ge  -GM_* \rho \sum A_i \ln \left( \frac{\bar{R}}{R_*} \right) $$

등호는 처음 물기둥의 높이가 모두 같은 경우에 성립한다.  이 식을 다시 정리하면 각각의 물기둥의 단면적으로 가중치를 준 물기둥 높이의 산술평균(arithmatic mean)은 기하평균(geometric mean)보다도 크거나 같다는 것을 보여준다.

$$ \overline{R}  \ge     \prod R_i^{p_i}$$

$R_i$가 일반적인 양의 실수이므로 위 부등식은 일반적인 양의 실수 사이의 가중치 산술평균과 기하평균 사이에 다음의 부등식이 성립함을 의미한다.

$$ \sum p_i R_i \ge \prod R_i^{p_i},\qquad \left( \sum p_i =1, ~p_i \ge0 \right)$$

이 부등식은 수학적인 증명 대신 물리계인 communicating vessels 시스템이 평형상태에 도달하는 과정에서 물의 양은 보존되지만, 평형상태에 이르는 과정에서 계가 항상 더 낮은 에너지 상태로 옳겨간다는 사실만을 이용하여 보였다.

이제 물기둥 시스템의 크기가 행성의 크기보다 매우 작을 때를 고려하자. 즉, 행성 표면에서 잰 물기둥의 높이가 $h_i = R_i - R_*  \ll R_*$인 경우 앞의 결과를 $h_i^2$의 order까지 전개하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$-\frac{GM_*\rho}{R_*^2 }  \sum A_i \left(  R_*\bar{h}  -\frac{1}{2}\bar{h}^2  \right) \ge 
-\frac{GM_* \rho}{R_*^2 }\sum A_i   \left(R_* {h_i} -\frac{1}{2} {h_i^2}\right)$$

$\sum A_i \overline{h}= \sum A_i h_i$이므로 

$$ \frac{ \sum A_i h_i^2}{ \sum A_j} \ge \bar{h}^2$$

따라서, $x_i^2= A_i h_i^2$, $y_i^2 = A_i$로 놓으면, $\bar{h}^2 = (\sum A_i  h_i  )^2/ (\sum A_k )^2 = (\sum x_i y_i )^2/(\sum y_i^2 )^2$이므로 위의 결과에서 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있음을 알려준다. $$\left( \sum x_i^2  \right)\left(\sum y_i^2\right) \ge \left(\sum x_i y_i\right)^2 $$

$$\text{Cauchy-Schwartz Inequality:}~~|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2  \ge \left( \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \right)^2$$

이 부등식을 간단한 물리법칙을 이용해서 증명하자. 우선 그림과 같이 $N$개의 축전기가 연결된 회로가 있다. 처음 축전기에는 각각 일정한 전하가 충전되어 있고, 회로를 연결하는 스위치는 모두 열린 상태이다.

각 축전기의 전기용량을 $C_i$, 충전된 전하를 $Q_i$라면 축전기에 양극판에 걸리는 전위차는 $V_i = Q_i /C_i$로 주어진다. 전하의 상대적인 부호에 따라 전위차도 +/- 부호를 가질 수 있다. 충전과정에서 축전기에는 에너지가 제공되므로 충전된 축전기는 에너지를 가진다. 각 축전기에 저장된 에너지가 $E_i = \frac{1}{2} Q_i V_i \ge0$이므로 축전기 회로에 저장된 총에너지는

$$ E_\text{initial} = \frac{1}{2} \sum Q_i V_i$$

이제 회로의 모든 스위치를 닫으면 각 축전기의 전위차 때문에 전하의 재분배가 발생하는 데 ($Q_i \to Q'_i$), 이 과정은 각 축전기의 전위차가 모두 같을 때까지( $V_i \to V_\text{eq}$) 일어난다. 물론 재분배 과정에서 회로의 저항때문에 에너지의 일부를 잃어버리지만 전하보존에 의해서 총전하량은 변함이 없어야 한다. 스위치를 닫았을 때 모든 축전기는 병렬연결이므로 등가전기용량은 $C_\text{eq} = \sum C_i = \sum Q_i/V_i $이므로 평형상태에서의 공통 전위차는 

$$ C_\text{eq} V_\text{eq} = Q_\text{total} = \sum Q_i$$

을 만족한다. 그리고 평형상태에 도달했을 때 축전기에 저장된 총 에너지를 스위치를 닫기 전 전하와 전위차로 표현하면

$$ E_\text{final} = \frac{1}{2} \sum Q'_i    V_\text{eq} = \frac{1}{2}\left(\sum Q_i \right) V_\text{eq}  = \frac{1}{2} \frac{\left( \sum Q_i \right)^2}{  C_\text{eq}} =\frac{1}{2} \frac{\left(\sum   Q_i \right)^2}{\sum Q_i/ V_i } $$

전하의 재분배 과정에서 에너지의 일부를 잃어버리므로 평형상태에서의 에너지는 항상 처음보다 클 수는 없다.

$$ E_\text{initial} \ge E_\text{final}$$

따라서

$$  \left( \sum Q_i V_i \right) \left( \sum \frac{Q_i}{V_i} \right) \ge \left( \sum Q_i \right)^2$$

축전기의 전기용량이 물리적으로 항상 양수이므로 전하와 전위차는 같은 부호를 가져야 한다. 따라서  $a_i^2 = Q_i V_i$, $b_i^2 = Q_i /V_i$로 놓으면 다음과 같은 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다.

$$ \left(\sum a_i^2 \right) \left(\sum b_i^2 \right) \ge \left( \sum   a_i b_i \right)^2$$

여기서 등호는 축전기의 처음 전위차가 모두 같은 경우로 이때는 스위치를 닫아도 전류의 흐름이 생기지 않아 에너지의 손실이 발생할 수 없는 경우에 해당한다. 이 부등식은 전하보존법칙과 물리계가 평형에 이르는 과정에서 에너지적으로 가장 낮은 상태로 옳겨간다는 사실을 이용하여 증명하였다.