직각 프리즘을 경사면 위에 올려놓은 다음 경사각을 서서히 증가시킨다. 프리즘이 미끄러지기 보다는 넘어지는 운동이 먼저 일어나려면 경사면의 정지마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?
1. $\mu \ge 1$
2. $\mu \ge 2$
3. $\mu \ge 3$
4. 정보가 부족하다.
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바닥에 놓인 냉장고를 밀면 작용한 힘의 크기, 작용 위치 그리고 바닥 상태에 따라 미끄러지거나 또는 넘어진다. 넘어지기 위해서는 얼마의 힘이 필요한가?
미끄러지는 경우는 미는 힘(수평 성분)이 정지 마찰력의 최댓값$(f_\text{max})$보다 더 커야 한다.
$$f_\text{max} = \mu_s Mg \quad \rightarrow \quad F \ge \mu_s Mg.$$
미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계 방향 토크를 만들고, 미는 힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 모멘트 팔=0이어서 토크를 만들지 않는다). 미는 힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어지게 된다.
$$ \sum\tau_R =Fd - Mg \frac{W}{2}\ge 0 \quad \rightarrow \quad F \ge \frac {W}{2d} Mg.$$
넘어지기 전에는 물체의 밑면이 바닥에 닿고 있는데 이때 마찰력과 수직항력은 어디에 작용할까?
넘어지기 직전이 아닌 경우는 일반적으로 수직항력(따라서 마찰력)은 바닥 전체 면적에 퍼져서 작용한다. 그렇지만 왼쪽에서 밀면 오른쪽에 더 많이 수직항력이 걸릴 것이다. 이 수직항력이 한 지점에 평균적으로 작용한 것으로 생각할 수 있는데, 그 지점에서 오른쪽 모서리까지 거리를 $x$라면 넘어지기 전에는 $x\gt 0$이 될 것이다. 따라서 넘어지기 전 상황을 고려하면 평형이므로(이 경우엔 수직항력이 토크에 기여한다. 마찰력은 여전히 모멘트 팔=0이어서 기여 없다:어느 지점에 작용하는가를 물어볼 필요가 없다)
$$ \sum \tau_R = Fd -Mg\frac{W}{2} + Nx = 0$$
여기서 넘어지려면 $$x=\frac{ \frac {1}{2} MgW -Fd }{N}\le 0$$
이어서 위와 같은 결론을 얻는다.
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