Geometry & Recognition

막대에 작용하는 힘은 막대방향의 마찰력(막대가 미끄러지는 것을 방해하는 방향), 막대에 수직하게 수직항력, 그리고 중력이 작용한다.

막대 왼쪽 끝에 대한 회전방정식을 세우면: 중력만 토크에 기여한다

$$ mg \frac{L}{2} \cos \theta = \frac{1}{3} mL^2 \alpha$$

막대 질량중심에 대한 회전방정식을 세우면: 수직항력만 토크에 기여한다

$$ N \frac{L}{2} = \frac{1}{12} mL^2 \alpha $$

따라서 두 식에서 수직항력은 $$N = \frac{1}{4} mg \cos \theta$$

막대의 질량중심이 원운동을 하고 회전중심을 향하는 힘은 마찰력과 중력의 막대방향성분

$$ f- mg \sin \theta = m \frac{L}{2} \omega^2$$

에너지 보존을 사용하면 각속도를 구할 수 있다.

$$ mg \frac{L}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}\frac{1}{3}mL^2 \omega^2$$

이므로 

$$ f = \frac{5}{2} mg \sin \theta$$

따라서 미끄러지지 않기 위해서는

$$ f\le\mu N\quad \to \quad \tan \theta \le \frac{\mu}{10}$$

풀이: 

막대는 탁자에서 떨어지기 전까지는 모서리를 축으로 막대의 질량중심은 원운동을 한다. 막대에 작용하는 외력이 수직항력(막대방향)과 중력인데 이 중 구심력 역할을 하는 성분은 $mg\cos \theta - N$이므로 질량중심의 운동방정식은

$$ \sum F_\text{centripetal} =  mg \cos \theta - N = m \frac{L}{2} \omega ^2$$

수직항력 $N \to 0$이 되면 막대는 모서리에서 떠나게 된다. 역학적 에너지 보존을 고려하면 

$$ mg \frac{L}{2} =  \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2 + mg\frac{L}{2}\cos \theta$$

$$ \to ~\omega^2 = 3 \frac{g}{L} (1-\cos \theta)   $$

얻을 수 있고, 이를 대입하면 

$$ N = mg \left( \frac{5}{2}\cos \theta - \frac{3}{2} \right) $$

이어서 $ \theta_c =\cos ^{-1} \frac{3}{5} = 53.13^\circ$ 정도에서 떨어진다.

이후 막대는 질량중심에 대해서 회전하면서(떨어지기 직전의 각속도를 가지고) 질량중심은 포물선 운동을 하게 된다.