세 물체가 고정도르래와 움직도르래 그리고 두 개의 줄로 그림과 연결된 상태에서 운동을 시작한다. 도르래의 회전관성과 모든 마찰력은 무시할 수 있다.
- 질량 $m_1$, $m_2$, $m_3$인 물체의 가속도를 각각 $a_1$, $a_2$, $a_3$이라 할 때 이들 사이의 관계는?
- $m_1$과 $m_2$을 연결하는 줄에 걸리는 장력은?
- $m_3$가 매달린 줄에 걸리는 장력은?
풀이:
아마 헷갈리는 포인트는 $m_1$, $m_2$, $m_3$의 운동이 완전히 독립적이 아니고 일정하게 제한되어 있는데, 그 제한조건을 구하는 부분일 것이다. 이는 적당한 좌표계를 도입하면 쉽게 찾을 수 있다. $m_1$과 $m_2$이 고정된 길이의 줄로 연결되어 있으므로 평균위치의 변화($(\Delta x_1 +\Delta x_2)/2$)는 $m_3$가 내려간 길이($\Delta y_3)$와 같다. 따라서
$$ \frac{a_1+ a_2}{2} = a_3$$
$m_1$, $m_2$을 연결하는 줄에 걸리는 장력을 $T$라면, $m_3$가 연결된 줄의 장력은 $2T$이므로 운동방정식은,
$$ m_1 a_1 = T, \\ m_2 a_2 = T \\ m_3 a_3 = m_3 g - 2T$$
4개 변수 $a_1, a_2, a_3, T$에 방정식이 4개 있으므로
$$ a_1 = \frac{2m_2 m_3}{ 4 m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_3 m_1}g \\ a_2 = \frac{2m_3 m_1}{ 4 m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_3 m_1}g \\ a_3 = \frac{(m_1+m_2) m_3}{ 4 m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_3 m_1}g \\ T = \frac{2m_1 m_2 m_3 g}{ 4 m_1 m_2 + m_2 m_3 + m_3 m_1}$$
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