$$ I = \int_{0}^{2\pi} \frac{d \theta }{1+ \sin^2 \theta} = \sqrt{2} \pi$$
이 적분을 복소함수 적분을 이용하여 구하기 위해서 먼저
$$\sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{- i \theta}}{2i} \\ \frac{1}{1+\sin ^2 \theta} = \frac{1}{1+ \left( \frac{e^{ i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \right)^2} = \frac{- 4 e^{2i \theta}} { e^{4i \theta}- 6e ^{2i \theta} +1} $$임을 이용하자. 이제 $z= e^{2 i \theta}$로 치환하면 $\theta$에 대한 적분은 복소평면에서 단위원에서 선적분으로 바뀌는데 $\theta:0\to 2\pi$이므로 $z$는 단위원을 따라 두번 감게된다. 따라서 적분은 단위원에서 선적분의 두배가 되어야 한다.
그리고
$$ dz = 2i e^{2 i \theta} d \theta \\ I = 2\times \oint_\text{unit circle} \frac{2i dz}{z^2 - 6z + 1}$$
$z= 3 \pm2\sqrt{2}$가 simple poles인데, 이 중 $z_1 = 3-2\sqrt{2}$가 단위원에 포함이 된다. $z_1$에서 residue는 $$ \text{Res} f(z_1) = \frac{2i }{z_1 - z_2 } = \frac{2i}{- 4\sqrt{2}} $$ 이므로 residue 정리에 의해서 $$ I = 2 \times \left( 2\pi i \times \frac{2i }{-4 \sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \pi$$ 동일한 방법으로 다음 결과를 얻을 수 있다.
$$ \int_0^{2\pi} \frac{d \theta}{ 1+ \cos^2 \theta} = \sqrt{2} \pi$$
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