Geometry & Recognition

고유길이가 $L_0$인 우주선이 역시 같은 고유길이를 가진 정지한 우주정거장 플랫폼을 일정한 속도로 통과하려 한다. 그런데 우주선의 앞부분에는 폭탄이 설치되어 있어 폭탄이 정거장 플랫폼을 빠져나오는 순간 폭발하도록 되어 있다. 다행히도 우주선의 뒷부분에는 센서가 달려있어 뒷부분이 플랫폼에 들어서는 순간 폭탄의 기폭장치를 끄는 신호를 보낸다.

정거장에서 보면 우주선의 길이가 플랫폼 길이보다 줄어들므로 우주선 뒤쪽이 플랫폼에 들어서는 순간 앞쪽은 여전히 플랫폼 내부에 있으므로 폭탄은 작동하지 않지만 기폭장치를 끄는 센서는 작동하므로 폭발하지 않는다. 한편 우주선에서 보면 플랫폼의 길이가 우주선보다 짧아지므로 우주선의 앞이 플랫폼을 나오는 순간에도 뒤쪽은 여전히 플랫폼에 들어와 있지 않으므로 기폭장치가 꺼지지 않아 결국 폭발한다. 어느 쪽이 맞는가? 틀린 쪽은 어떤 사실을 간과하고 있는가?

속도 $v$로 달리는 고유길이가 $L$인 열차의 앞과 뒤에 동기화된 시계가 설치되어 있다. 열차 뒤 시계가 0시를 가리킬 때 뒤에서 앞을 향해 빛을 쏜다. 이 빛은 열차 앞쪽 시계가 $L/c$일 때 도착한다. 지상에서 이 실험을 지켜보는 관찰자 관점에서도 빛의 발사 때 뒤쪽 시계와 빛 도착 때 앞 시계의 눈금이 $L/c$만큼 차이가 남을 보여라.

힌트: 지상계에서 볼 때 열차 뒤쪽 시계가 0시를 가리킬 때 앞쪽 시계는 $-\frac {vL}{c^2}$를 가리킨다(rear clock ahead effect). 지상계에서 보면 열차의 길이가 $L/\gamma$로 줄어들어 보이므로, 뒤에서 발사된 빛이 앞에 도달하는데 걸리는 시간은 빛과 열차의 상대속도 $c-v$로 줄어든 열차 길이를 가는데 필요한 시간과 같다. 

$$ T = \frac{L/\gamma }{c- v}=\frac{L}{\gamma(c-v)}$$

또, 지상에서 볼 때 열차의 시계는 느리게 가므로 빛의 출발-도착에 진행된 (열차 시계의) 시간은

$$ T' = \frac{1}{\gamma} T = \frac {L}{\gamma^2 (c-v)}= \frac {L}{c} (1+ \beta)~~~~(\beta = v/c)$$

따라서 빛을 받았을 때 지상계에서 보이는 열차 앞 시계의 눈금은 

$$ T'_\text{front} = - \frac {vL}{c^2} + \frac {L}{c} (1+ \beta) =  \frac {L}{c}$$ 

길이가 $L_0 =20$미터 막대를 들고 일정한 속도 $v=\sqrt{3}c/2~(\to~\gamma = 2)$로 앞에 있는 헛간을 향해서 달린다. 헛간의 폭은 $\ell_0=10$미터이고 막대의 앞이 헛간의 뒷문에 도달하는 순간 헛간의 양문이 닫히도록 설계되어 있다. 지상에서 볼 때 막대는 길이수축 때문에 $20/\gamma= 10m$ 길이로 보이므로 막대가 헛간에 완전히 들어갈 수 있고 그 순간 양쪽 문이 닫히면 가둘 수 있다. 그런데 막대를 미는 사람(막대와 같이 움직이는 관찰자)의 입장에서 보면 헛간이 막대를 향해서 $v$의 속력으로 달려오므로 헛간의 폭이 정지해 있을 때의 절반인 $5m$로 줄어들어 보인다. 그러면 막대가 헛간에 갇히는 것은 불가능하지 않는가?

힌트: 지상계에서는 헛간의 문이 동시에 닫히지만, 막대계에서 보면 헛간은 먼 쪽 뒤쪽 문이 막대 앞이 도달한 순간 닫히고, 헛간의 앞문은 나중에 닫힌다(rear clock ahead effect). 그 시간 차이는

$$\frac{\gamma v\ell_0}{c^2} = \frac{2\times \frac{\sqrt{3}c}{2} \times (10m)}{c^2} = \frac{10\sqrt{3}}{c}$$ 그런데 이 시간은 헛간의 앞이 막대의 뒤에 도달한데 걸리는 시간과 같다. 헛간 앞과 막대 뒤의 거리가 $L_0- \frac{\ell_0}{\gamma} = 15m$이고, 헛간이 $v$로 다가오므로 걸리는 시간은 $\frac{15(m)}{v} = \frac {10\sqrt {3}}{c}$ 임을 확인할 수 있다. 

반박: 그러면 막대 앞이 헛간의 뒷문에 막히므로 막대가 더 이상 움직이지 못하는 것이 아닌가?(막대계에서는 헛간이 더 이상 다가오지 못하는 것). 뉴턴역학에서는 막대가 반발력을 받으면 막대는 강체이므로 막대의 뒤쪽에서 즉각 힘을 감지할 것이지만(뉴턴역학에서 완전 강체에서 음속은 무한대이다), 특수상대성 이론에서는 모든 정보는 광속보다 빨리 진행될 수 없다. 막대 앞이 헛간 뒷문에서 닿아서 휘어지거나 부서지는 정보가 광속으로 퍼진다면 막대 뒤편에서 알아차리는 데 걸리는 시간은 $\frac {L_0}{c}= \frac {20}{c}$인 데, 이 시간은 헛간 앞쪽이 막대 뒤쪽에 도달하는 데 걸리는 시간 $\frac {10\sqrt {3}}{c}$ 보다 더 길다. 즉, 헛간의 앞이 막대의 뒤에 도달하여서 앞쪽 문이 닫히는 순간까지도 막대의 뒤쪽에서는 앞쪽이 휘어지거나 부서지고 있다는 정보를 알 수 없음을 의미하므로 막대의 뒤쪽은 헛간 앞쪽 문이 닫히기 직전 안으로 일정한 속도로 들어갈 수 있다.