얼마나 늘어날까?

Physics 2020. 12. 24. 11:28
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오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F/4k$

2. $F/2k$

3. $F/k$

4. $2F/k$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

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두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은

$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)

$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.

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천장에 연결된 줄이 끊긴 직후 위쪽 물체의 가속도는?

1. $0$

2. $g/2$

3. $g$

4. $\sqrt{2}g$

5. $2g$

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

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  1. hgmhc 2020.12.22 23:14 신고  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    2...g..인가요?

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용수철로 연결된 두 물체를 그림처럼 세워두면 위쪽 물체의 무게 때문에 용수철이 약간 압축이 된다. 이 상태에서 손으로 밀어 좀 더 압축한 후 손을 떼면 위쪽 물체가 위로 솟구쳐 오르게 되는데 압축이 많이 된 경우에는 아래쪽 물체까지 바닥에서 떨어지는 경우가 있다. 얼마나 압축하면 그럴까?

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손으로 누르기 전에는 위쪽  물체의 무게 때문에 용수철은 원래 길이에서 $mg/k$만큼 아래로 압축이 된다. 여기에 추가로 $A$만큼 누른 후 손을 떼면 위쪽 물체는 처음 압축 위치를 기준으로 위-아래로 진동을 한다. 아래 물체가 받는 힘은 자체 무게, 용수철이 누르거나 당기는 힘 그리고 바닥이 주는 수직항력이다. 아래 물체가 바닥에서 떨어지지 않으려면 수직항력이 0보다 커야 한다. 중력은 항상 일정하므로 수직항력이 가장 작아지는 경우는 용수철이 원래의 길이보다 늘어나는 경우로 위쪽 물체가 최고 높이에 있을 때이다.  바닥에서 떨어지지 않는 경우 아래 물체에 작용하는 알짜힘 = 0 이므로

\begin{gather}\sum F_y = F_N -mg + k(A-mg/k)=0  \\ F_N = 2mg - kA \\ F_N > 0 \quad\rightarrow \quad A < {2mg}/{k}\end{gather}

따라서 아래 물체가 바닥에서 떨어질 조건은 $A\ge 2mg/k$. 

 

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두 물체를 양쪽으로 잡아당겨 용수철을 늘린 후 동시에 마찰이 없는 바닥에 놓는다. 두 물체가 같은 값을 갖는 물리량은?

1. 속력($v$)

2. 가속도 크기($a$)

3. 운동량 크기($mv$)

4. 운동에너지($\frac {1}{2} m v^2$)

5. 이 중에는 없다.

 

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  1. so8286 2017.02.04 08:02  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    처음에 정지해있었으니깐 운동량의 크기는 같지만 반대가 아닐까 싶네요 답은 3 맞나요? 아근데 긍금한게 만약 용수철을 x만큼 늘리면 둘다 kx 만큼의 탄성복원력을 받게된다고 생각하는게 맞나요?

    • helloktk 2017.02.04 11:19 신고  댓글주소  수정/삭제

      용수철을 x만큼 늘리면(압축하면) 용수철의 양쪽 끝에서는 각각 kx의 크기로 안쪽(바깥쪽)으로 잡아당깁니다. 벽에 고정된 용수철을 x만큼 늘리려면 반대편 끝에서 kx의 힘을 주어야 하고, 벽도 kx만큼 힘을 주어야 한다는 사실을 생각하면 이해할 수 있을 것입니다. 질문의 답은 다른 관심있는 사람들을 위해서...

  2. 2017.02.04 19:55  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다

  3. 2019.04.19 00:54  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    비밀댓글입니다