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대전된 정육면체의 한 변이 받는 전기력은?

Physics/정전기 2022. 2. 17. 15:27

Q1: 표면전하밀도 $σ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 로 균일하게 대전된 판(한변 길이= $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ )이 있다. 판의 앞면으로 나오는 전기선속은?

1. $σ0L2ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mfrac></math>$

2. $σ0L22ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

3. $σ0L24ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>4</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

풀이: 판을 완전히 감싸는 가우스 곡면을 생각하면 판의 사이드에서 나가는 전기선속은 없으므로(면적=0) 앞면 또는 뒷면으로 절반씩 나간다. 가우스 법칙에 의해서 전체 전기선속은 $σ L 2 / ϵ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>σ</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 이므로 앞면으로 나가는 전기선속은

$σ0L22ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

Q2: 표면전하밀도 $σ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 로 균일하게 대전된 정육면체가 있다(한변 길이= $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ ). 5개 면의 전하에 의한 전기력선의 일부는 나머지 한 면을 통과한다. 그 전기선속은 얼마인가? (대칭성과 중첩의 원리를 쓰면 쉽다)

1. $σ0L2ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mfrac></math>$

풀이: 육면체의 각면에서 밖으로 나가는 전기선속은 그 면의 전하에 의한 전기선속( $Φ 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>1</mn></msub></math>$ )과 나머지 5면의 전하가 만드는 전기선속( $Φ 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>2</mn></msub></math>$ )의 합이다. 각각의 면이 동등하므로, 전체 육면체에서 나가는 전기선속은 $6 (Φ 0 + Φ 1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 이고, 가우스 법칙에 의해서 이 값은 $6 σ 0 L 2 / ϵ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 와 같다. 따라서 $Φ 0 + Φ 1 = σ 0 L 2 / ϵ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 이므로

$Φ1=Φ0=σ0L22ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi mathvariant="normal">Φ</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>σ</mi><mn>0</mn></msub><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

Q3: 위 정육면체의 한 변이 받는 전기력은? (균일한 전하밀도를 가지는 면이 받는 전기력은 그 면을 통과하는 전기선속과 연관되어 있다)

1. $σ20L2ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msubsup><mi>σ</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mfrac></math>$

2. $σ20L22ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msubsup><mi>σ</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

3. $σ20L24ϵ0<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msubsup><mi>σ</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><mn>4</mn><msub><mi>ϵ</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac></math>$

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