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Interpolation은 이산적으로 주어진 샘플들 사이에서 존재하지 않는 값을 추정하는 작업이다.  한 지점에서 interpolation을 통해 값을 추정하기 위해서는 주변의 알려진 샘플 값들을 참조해야 하고 적절한 가중치를 주어야 한다. 또한 interpolation 함수는 충분히 부드럽게 주변 샘플 값들과 연결이 되어야 한다. 이런 관점에서 보면 interpolation은 주변 샘플에 적절한 가중치를 주는 kernel함수와 convolution으로 이해할 수 있고, 또한 샘플링 과정에서 잃어버린 정보를 샘플 데이터를 smoothing해서 복원하는 과정으로 해석할 수 있다.

kernel 함수가 $K(x)$고, 일정한 간격으로 주어진 1차원 샘플의 값이 $\{ (x_k, c_k)\}$일 때 interpolation 함수는 

$$ f(x)  =\sum_k c_k K \Big( \frac{x - x_k}{h}\Big)$$

의 형태로 표현할 수 있다. $h$는 샘플의 간격으로 이미지에서는 픽셀의 간격이므로 $h=1$이다.

interpolation함수는 샘플 위치를 통과해야 하므로, 

$$ f(x_j) = c_j = \sum_{k}  c_k K( x_j - x_k)  \quad \longrightarrow\quad K(x_j - x_k ) = \delta_{jk}$$

즉, $K(0)=1$이고, $K(i)=0~(i\ne 0)$임을 알 수 있다. 또한 kernel이 주는 가중치의 합이 1이어야 하므로

$$\int_{-\infty}^{\infty}  K(x) dx = 1$$이어야 한다.

영상처리에서 잘 알려진 interpolation 방법은 nearest-neighbor, linear, cubic interpolation이 많이 사용된다. 아래 그림은 kernel의 중심이 원점에 있는 경우를 그렸다.

Nearest neighbor:

$$ K(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & |x| < \frac{1}{2} \\ 0, & |x| \ge\frac{1}{2}\end{array} \right. ,  \quad\quad  H(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}  K(x) e^{-i\omega x}dx= \text{sinc} \Big( \frac{\omega}{2} \Big) $$

Linear interpolation: 

$$ K(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - |x| , & |x| < 1 \\ 0, & |x| \ge 1  \end{array} \right. ,  \quad\quad  H(\omega) = \text{sinc}^2 \Big(\frac{\omega}{2} \Big) $$

Cubic interpolation:

$$ K(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}( 3|x|^3 - 5|x|^2 +2)  , & |x| < 1 \\ \frac{1}{2}(-|x|^3 +5 |x|^2 -8|x|+4 ) , & 1\le |x| <2   \\ 0 , & |x| \le |x| \end{array} \right. , \\ \quad\quad  H(\omega) = \frac{12}{\omega^2} \Big( \text{sinc}^2 \Big(\frac{\omega}{2}\Big) -\text{sinc}(\omega) \Big) -\frac{4}{ \omega^2} \Big( 2\text{sinc}^2 (\omega) -2 \text{sinc}(\omega) -\text{sinc}(2\omega) \Big) $$

Cubic interpolation kernel이 다른 nearest-neighbor, linear kernel 보다 low-pass 특성이 강해지므로 이미지가 더 잘 smoothing 되는 특성을 가질 것임을 알 수 있다.

double KernelCubic(double x) {
    double absx = fabs(x);
    if (absx < 1)  return 0.5 * (2 + absx * (absx * (3 * absx - 5)))
    if (absx < 2)  return 0.5 * (4 - absx * (absx * (absx + 5) - 8));
    return 0;
}

일반적인 cubic convolution kernel은 4개의 샘플데이터를 이용해 보간하므로 폭이 4(반지름 =2)이다. $x_k=-1,0,1,2$에서 4개의 샘플값 $c_0, c_1, c_2,c_3$이 주어진 경우, $0\le x <1$구간에서 cubic interpolation은  kernel의 중심을 원점에서 $x$로 평행이동하면,

$$f(x) = c_0 K(-1-x) + c_1 K(-x) + c_2 K(1-x) + c_3 K(2-x)$$

로 표현된다. 다음 예는 $0\le  x<1$ 구간에서 $(x-1)^2$(blue)을 cubic interpolation(red)을 한 결과이다.

 

 

일반적인 cubic  convolution kernel은 한 개의 모양을 조정하는 한 개의 조정 parameter을 가지는 연속이고 한 번 미분가능한 형태로 주어진다.

$$ K(x) = \left\{   \begin{array}{ll} (a+2) |x|^3 - (a+3) |x| ^2 +1, &   |x| < 1 \\ a|x|^3 - 5a |x|^2 + 8a |x| - 4a ,&  1 \le |x| <2 \\ 0 ,& |x| \ge 2 \end{array} \right. $$

실용적인 파라미터의 범위는 $[-3,0]$이고( $a<-3$이면 $|x|<1$ 구간에서 단조감소가 아니어서 0이 아닌 곳에서 1보다 큰 값을 갖게 된다), 보통 많이 사용하는 cubic interpolation은 $a=-0.5$에 해당한다. 일반적으로 $a$가 -3에 가까워지면 최소 위치가 더 깊어지므로 일종의 미분 연산자처럼 작용하게 되어 이미지에 적용할 때 sharpness가 증가하게 된다. $a$가 0에 가까워지면 최소 위치 깊이가 0에 가까워지므로 gaussian filter처럼 이미지를 blurring하는 효과가 발생한다.

Lanczos Interpolation: 

$$K(x) = \left\{  \begin{array}{ll}   \text{sinc}(\pi x) \text{sinc}(\pi x / a), & |x|<a \\ 0 ,& |x|\ge a\end{array}\right.$$

$$H(\omega)=\frac{1}{2\pi^2\sqrt{2\pi}}\Big( -(2\pi-3\omega)Si(2\pi-3\omega)+(4\pi -3\omega)Si(4\pi-3\omega)\\+(2\pi +3\omega)Si(2\pi+3\omega)+(4\pi+3\omega)Si(4\pi+3\omega)\Big)$$

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Fixed-Point Bicubic Interpolation

아날로그 신호로부터 디지털 데이터로 바꿀 때 보통 시간당(sound) 또는 공간적 거리당(image) 일정한 횟수로 데이터를 수집한다. 이 비율을 sampling rate이라 한다. 그런데 sampling rate을 바꾸어야 할

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Bicubic Interpolation

이미지 처리에서 픽셀 좌표는 간격이 1인 2차원 그리드의 교차점으로 볼 수 있다. 이미지를 확대하거나 축소할 때, 픽셀과 픽셀 사이 구간에서 값이 필요한 경우가 생긴다. 간단히는 주변의 가장

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아날로그 신호로부터 디지털 데이터로 바꿀 때 보통 시간당(sound) 또는 공간적 거리당(image) 일정한 횟수로  데이터를 수집한다. 이 비율을 sampling rate이라 한다. 그런데 sampling rate을 바꾸어야 할 경우가 있다. 1초마다 한 번씩 데이터를 모았는데 실제로 0.5초마다 수집된 데이터가 필요가 한 경우에는 기존의 수집된 데이터와 데이터 사이에서 원 아날로그 신호 값을 알아내야 한다. sampling rate을 바꿀 때 기존의 데이터를 이용해서 원 아날로그 신호에서 수집한 것처럼 새로운 데이터를 만들어 내는 과정이 resampling이다. 이미지에서는 원본을  확대하는 up sampling이나 축소하는 down sampling 등이 resampling의 일종이다. resampling을 하기 위해서는 기존 데이터를 이용해서 데이터와 데이터 사이에서의 값을 추정하는 interpolation이 필요하게 된다. 많이 사용하는 interpolation 방법으로는 nearest neighbor interpolation, linear interpolation, cubic interpolation, spline interpolation 등이 있다.  여기서는 cubic interpolation을 이용한 이미지 resampling을 살펴본다.

 

$x$축 위의 4 점 $x=-1$, $x=0$, $x=1$, $x=2$에서 값이 $p_0$, $p_1$, $p_2$, $p_3$으로 주어진 경우 $0 \le x \le1$ 구간에서 cubic interpolation 함수는 

$$ f(x)=ax^3 +b x^2 + cx +d$$

라고 쓰면, 우선 $x=0$에서 $p_1$, $x=1$에서 $p_2$를 지나므로

$$f(0) = d = p_1, \quad\quad f(1) = a + b+ c+d = p_2$$

를 만족해야 하고, 양끝에서 도함수 값은 주변 입력점의 평균변화율로 주면, 다음식을 만족한다.

$$  f'(0) = c = \frac{p_2 - p_0}{2}, \quad \quad f'(1) = 3a + 2b + c =\frac{p_3 - p_1}{2}$$

이를 이용해서 $a,b,c,d$를 구하면,

$$a= \frac{1}{2}( -p_0 +3 p_1 -3p_2 +p_3), ~b = \frac{1}{2}(2p_0 -5 p_1 + 4p_2 -p_3),~ c=\frac{1}{2} (-p_0 +p_2), ~d=p_1. $$

따라서 cubic interpolation 함수는

\begin{align} f(x) &=\frac {1}{2}\big(- x^3 + 2x^2 -x\big) p_0+\frac {1}{2}\big(3x^3 - 5x^2 +2 \big) p_1\\&+\frac {1}{2}\big( -3x^3 + 4 x^2 + x\big) p_2 +\frac {1}{2}\big( x^3 - x^2 \big) p_3 \end{align}

로 쓰인다. 이는 다음처럼 정의된 kernel 함수를(Catmull-Rom filter) convolution한 형태로도 표현할 수 있다.

$$ K(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} (3|x|^3 - 5|x|^2 +2) &  |x| <1 \\  \frac{1}{2}(-|x|^3+5|x|^2 -8|x|+4 ) & 1 \le |x|<2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

$$  f(x) = p_0 K(-1-x) + p_1 K(-x) + p_2 K(1-x) + p_3 K(2-x),\quad (0\le x <1)$$

여기서는 좀 더 간단히 표현하기 위해서 $$ f(x) = m_0 p_0 + m_1 p_1 + m_2 p_2 + m_3 p_3 $$ 로 표현한다. 물론 $m_i$는 $0\le x <1$의 함수이다. $f(x)$는 그림에서 보는 것처럼 $p_1$과 $p_2$를 통과한다.

구간 끝에서 도함수를 $$f'(0) = \frac{p_2 - p_0}{2}, ~f'(1) = \frac{p_3 - p_1}{2}$$로 설정했기 때문에 인접 구간(eg. $[p_2,p_3]$)에서의 interpolation과 경계에서 같은  도함수를 가지게 되어 곡선이 꺽임없이 부드럽게 연결이 되는 특성을 가진다(예를 들면, $p_2$와 $p_3$을 보간하는 cubic interpolation함수는 $p_2$에서 미분값이 $(p_3 - p_1)/2$인데, 이는 $p_1,p_2$구간의 interpolation  함수가 $p_2$에서 가지는 미분값과 같다).

 

이를 2차원 공간으로 확장하면, 평면 위의 격자점 $\{(x, y)| x, y=-1,0,1, 2\}$에서 16개의 값 $\{ p_{ij} |i, j=0,1,2, 3\}$가 주어진 경우 정사각형 영역 $ 0\le x, y \le 1$에서 bicubic interpolation은 먼저 4개의 행 $y=-1,0,1,2$에서 각각 $x$ 방향의 cubic interpolation 된 값을 구한다:

\begin{align} q_0 =f(x, y=-1)= m_0 p_{00} + m_1 p_{10} + m_2 p_{20} + m_3 p_{30} \\ q_1 =f(x, y=0)= m_0 p_{01} + m_1 p_{11} + m_2 p_{21} + m_3 p_{31} \\ q_2 =f(x, y=1)= m_0 p_{02} + m_1 p_{12} + m_2 p_{22} + m_3 p_{32} \\ q_3 =f(x, y=2)= m_0 p_{03} + m_1 p_{13} + m_2 p_{23} + m_3 p_{33} \end{align}

4개 행에서 구해서 값을 이용해서 다시 $y$ 방향으로 cubic interpolation 한 값을 구하면 bicubic interpolation이 완성된다: $$ q =f(x,y)= q_0 n_0 + q_1 n_1 + q_2 n_2 + q_3 n_3$$ 여기서 $n_i$는 $m_i$에서 $x$를 $y$로 치환한 값이다.

 

원본 이미지를 확대/축소 또는 변형 등의 변환 과정을 거쳐서 출력 이미지를 만들 때 원본 이미지의 픽셀 값을 resampling 하는 과정이 들어온다. 이때 원본 이미지의 픽셀과 픽셀 사이의 값이 필요한 경우가 발생하여 적절한 interpolation이 필요한데 많이 쓰이는 interpolation 중의 하나가 bicubic interpolation이다. 아래는 bicubic interpolation을 이용한 이미지 resampling을 수행하는 코드다.

 

interpolation에서 실수(float) 연산을 하지 않고 정수 연산만 사용하면서도 일정한 정밀도로 소수점 아래 부분의 정보를 유지하기 위해 나누기 전에 미리 256을 곱한 후에 나눈다(256 대신에 적당히 큰 수를 선택해도 되는데 2의 지수승을 잡으면 곱셈/나눗셈을 shift 연산으로 대체할 수 있는 장점이 있다). 이렇게 하면 나눈 몫에 $\tt 0xFF$ 비트 마스크를 적용할 때 남는 부분이 소수점 아랫부분을 표현한다. 정밀도는 $1/256$ 까지다. 중간 과정에서 소수점 이하 부분끼리 곱셈을 할 때는 항상 $256$으로 나누어서 $255$ 이하가 되도록 만들어야 한다. 최종 결과에서도 다시 $256$으로 나누기를 해주어야 된다. bicubic인 경우는 $x/y$ 양방향으로 적용하므로 $256\times 256$으로 나누어야 하고 cubic interpolation 계수에서 $1/2$이 들어오므로 추가로 $4$만큼 더 나누어 주어야 한다(코드의 마지막 결과에서 shift 연산 "$\tt >> 18$"이 들어온 이유다).

 

bicubic interpolation을 적용할 때 $\tt y=0$이나 $\tt x=0$에서는 이전 행이나 열이 없으므로 자신을 반복하는 방식으로 처리해 주어야 하고, 또 $\tt y=rows-2, rows-1$이나 $\tt x=cols-2, cols-1$일 때도 비슷한 처리가 있어야 한다.

int resample_bicubic ( BYTE *src, int cols, int rows,
                       BYTE *des, int newcols, int newrows ) {
    if (cols < 4 || rows < 4)
        return resample_bilinear(src, cols, rows, des, newcols, newrows);

    int ixn = cols - 4;       
    BYTE *pa, *pb, *pc, *pd;
    for (int j = 0; j < newrows; j++) {
        int yy = ( ( j * rows ) << 8 ) / newrows;
        int yp = yy >> 8;                        // src pixel y-position;
        int dy = yy & 0xFF;
        int dy2 = (dy * dy) >> 8;
        int dy3 = (dy2 * dy) >> 8;
        int n0 = -dy3 + 2 * dy2 - dy;
        int n1 = 3 * dy3 - 5 * dy2 + 2 * 256;
        int n2 = -3 * dy3 + 4 * dy2 + dy;
        int n3 = dy3 - dy2;
        //
        if (yp == 0) pa = src + yp * cols;
        else         pa = src + (yp - 1) * cols;
        pb = src + yp * cols;
        if (yy < rows - 2) {
            pc = src + (yp + 1) * cols;
            pd = src + (yp + 2) * cols;
        } else if (yp < rows - 1) {
            pc = src + (yp + 1) * cols;
            pd = pc;
        } else {
            pc = src + yp * cols;
            pd = pc;
        }
        for (int i = 0; i < newcols; i++) {
            int xx = ( ( i * cols ) << 8 ) / newcols;
            int xp = xx >> 8;                    // src pixel x-position;
            int dx = xx & 0xFF;
            int dx2 = ( dx * dx ) >> 8;
            int dx3 = ( dx2 * dx ) >> 8;
            int m0 = -dx3 + 2 * dx2 - dx;
            int m1 = 3 * dx3 - 5 * dx2 + 2 * 256;
            int m2 = -3 * dx3 + 4 * dx2 + dx;
            int m3 = dx3 - dx2;
            int p = (xp == 0) ? 0 : (xp < ixn) ? xp - 1: ixn;    // p+3 <= ixn+3=cols-1;
            int a = ((m0 * pa[p] + m1 * pa[p + 1] + m2 * pa[p + 2] + m3 * pa[p + 3]) * n0 +
                     (m0 * pb[p] + m1 * pb[p + 1] + m2 * pb[p + 2] + m3 * pb[p + 3]) * n1 +
                     (m0 * pc[p] + m1 * pc[p + 1] + m2 * pc[p + 2] + m3 * pc[p + 3]) * n2 +
                     (m0 * pd[p] + m1 * pd[p + 1] + m2 * pd[p + 2] + m3 * pd[p + 3]) * n3) >> 18;
            *des++ = (a > 0xFF) ? 0xFF: (a < 0) ? 0: a;
        }
    }
	return 1;
}

bicubic interpolation을 하기 위해서는 4점이 필요하므로 폭이나 높이가 이보다 작은 경우는 bilinear interpolation을 사용한다. 다음 코드는 fixed-point bilinear interpolation을 구현한 코드다.

더보기
int resample_bilinear(BYTE *src, int cols, int rows,
                      BYTE *des, int newcols, int newrows ) {
    for (int j = 0; j < newrows; j++ ) {
        int yy = ((j * rows ) << 8) / newrows;
        int yp = yy >> 8;   // integer part;
        int dy = yy & 0xFF; // fractional part;
        for (int i = 0; i < newcols; i++) {
            int xx = ((i * cols ) << 8) / newcols;
            int xp = xx >> 8;
            int dx = xx & 0xFF;
            int pos = yp * cols + xp; //src position;
            int p00 = *(src + pos);
            int p10 = *(src + pos + 1);
            int p01 = *(src + pos + cols);
            int p11 = *(src + pos + cols + 1);
            int val = ((p11 * dx + p01 * (256 - dx)) * dy
                    + (p10 * dx + p00 * (256 - dx)) * (256 - dy)) >> 16;
            *des++ = val > 255 ? 0xFF: val < 0 ? 0 : val;
        }
    }
    return 1;
}

원본 컬러 이미지
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Bicubic Interpolation

이미지 처리에서 픽셀 좌표는 간격이 1인 2차원 그리드의 교차점으로 볼 수 있다. 이미지를 확대하거나 축소할 때, 픽셀과 픽셀 사이 구간에서 값이 필요한 경우가 생긴다. 간단히는 주변의 가장

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이미지 처리에서 픽셀 좌표는 간격이 1인 2차원 그리드의 교차점으로 볼 수 있다. 이미지를 확대하거나 축소할 때, 픽셀과 픽셀 사이 구간에서 값이 필요한 경우가 생긴다. 간단히는 주변의 가장 가까운 픽셀의 값을 그대로 가져다 쓰거나, 또는 주변의 4 픽셀 값을 선형 보간해서 쓴다. 2차원 그리드에서 선형 보간은 bilinear interpolation이다. 이 보간법은 속도는 빠르지만 픽셀 값이 인접 그리드에서의 값으로 부드럽게 이어지지 않는 단점이 있다. 인접 그리드 경계에서 픽셀 값이 부드럽게 이어지기 위해서는 적어도 1차 미분이 연속인 보간법을 사용해야 하는데, 이러한 조건을 만족시키는 가장 낮은 찾수의 다항식 보간법이 bicubic interpolation이다.

4점 $(0,0), (0,1), (1,0),(1,1)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형 내의 임의 지점 $D=\{(x, y)| 0 \le x\le1, 0\le y \le 1\}$ 에서 픽셀을 주는 보간 곡면 $f(x, y)$을 주변의 16개 점 $\{(i, j)| -1 \le  i \le 2, -1 \le  j \le 2\}$에서 픽셀 값을 이용해서 bicubic interpolation을 이용해서 추정하자. 곡면 $f(x, y)$은 $x$와 $y$의 3차 함수로 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align} f(x, y)= \sum_{i=0}^{3} \sum_{j=0}^{3} a_ {ij} x^i y^j. \end{align}

문제는 계수 $\{a_{ij}\}$ 16개를 어떻게 찾을 것인가? 이를 위해 16개의 조건이 필요한데 주변의 16개의 픽셀 값을 이용해서 만들 수 있다. 또한 픽셀 값이 인접 그리드 영역으로 smooth하게 연결되기 위해서는 $f(x, y)$의 미분도 고려해야 한다. 

1. 4 꼭짓점에서 값, $f(x,y)$:

\begin{align}f(0,0)& = a_{00};\\ f(1,0)& = a_{00} + a_{10} + a_{20} + a_{30}; \\ f(0,1) &= a_{00} + a_{01} + a_{02} + a_{03};\\   f(1,1) &= a_{00} + a_{10} + a_{20} + a_{30} + a_{01} + a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ &+ a_{02} + a_{12} + a_{22} + a_{32} + a_{03} + a_{13} + a_{23} + a_{33};\end{align}

2. 4 꼭지점에서 미분계수, $f_x$, $f_y$:

\begin{align} f_x(0,0) &= a_{10} ; \\ f_x(1,0) &= a_{10} + 2 a_{20} + 3 a_{30} ; \\ f_x(0,1) &= a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13}; \\ f_x(1,1) &= a_{10} + 2 a_{20} + 3 a_{30} + a_{11} + 2 a_{21} + 3 a_{31} \\ &+ a_{12} + 2a_{22} + 3a_{32} + a_{13} + 2a_{23} + 3a_{33};\\ f_y(0,0)&=a_{01} \\ f_y(1,0) &= a_{01} + a_{11} + a_{21} + a_{31};\\ f_y(0,1) &= a_{01} + 2a_{02} + 3a_{03}; \\ f_y(1,1) &= a_{01} + a_{11} + a_{21} + a_{31} + 2 a _{02} + 2 a_{12} + 2 a_{22} + 2 a_{32} \\&+ 3a_{03} + 3a_{13} + 3a_{23} + 3a_{33};\end{align} 

3. 4 꼭짓점에서 교차 미분계수, $f_{ij}$:    

\begin{align} f_{xy} (0,0)& = a_{11}; \\ f_{xy}(1,0)& = a_{11} + 2a_{21} + 3a_{31}; \\ f_{xy}(0,1)& = a_{11} + 2a_{12} + 3a_{13}; \\ f_{xy}(1,1) &= a_{11} + 2a_{21} + 3a_{31} +2a_{12} + 4a_{22} \\ &+ 6a_{32} + 3a_{13} + 6a_{23} + 9a_{33};\end{align}

꼭짓점에서 $f(x, y)$의 미분계수는 꼭짓점과 인접 교차점 사이의 평균 변화율로 표현할 수 있다. 주변의 픽셀이 $p [i+1, j+1] = f(i,j)$로 주어진 경우;

\begin{align} f_{00}&=p[1,1], f_{10}=p[2,1], ...\\f_{x00} &=f_x(0,0) = \frac{1}{2} (f(1,0)-f(-1,0))=\frac{1}{2}(p [2,1] -p [0,1]),... \\ f_{xy00} &= f_{xy}(0,0) = \frac{1}{4}( f(1,1)-f(1,-1)-f(-1,1)+f(-1,-1) )\\&=\frac{1}{4}(p[2,2]-p[2, 0]-p[0,2]+p[0,0]),...\end{align}

와 같다.

위의 식들은 16개의 미지수 {$a_{ij} $}를 가지는 16개의 연립 방정식이므로 이를 풀어서 계수를 구할 수 있다. 계수를 벡터 ${\mathbf v}$로 

$$\mathbf{v} = [ a_{00}, a_{10}, a_{20},a_{30},a_{01},a_{11},a_{21},a_{31},a_{02},a_{12},a_{22},a_{32},a_{03},a_{13}, a_{23},a_{33}]^t$$

로 나타내고, 각 꼭짓점에서의 픽셀 값, 미분 값을 ${\mathbf f}$ 벡터로 나타내면

$$\mathbf{f} = [f_{00}, f_{10},f_{01},f_{11}, f_{x00}, f_{x10},f_{x01}, f_{x11}, f_{y00}, f_{y10}, f_{y01}, f_{y11}, f_{xy00}, f_{xy10}, f_{xy01}, f_{xy11}]^t.$$

16개의 연립 방정식은 행렬식

$${\bf f} ={\mathbf  A} \cdot {\mathbf v}\quad(해: {\mathbf v}={\mathbf A} ^{-1} \cdot {\mathbf f}) $$

으로 쓸 수 있다. 여기서,

$$\mathbf {A}= \left( \begin {array}{cccccccccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 3 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 4 & 6 & 0 & 3 & 6 & 9 \\ \end {array}\right)$$

그리고 역행렬은

$$\mathbf {A}^{-1}=\left(\begin {array}{cccccccccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 \\  -3 & 3 & 0 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &    0 & 0 \\  2 & -2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0    & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 & 0 & 0 & -2 & -1 &    0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0    & 0 \\  -3 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 &    0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 &    -1 & 0 \\  9 & -9 & -9 & 9 & 6 & 3 & -6 & -3 & 6 & -6 & 3 & -3 & 4 &    2 & 2 & 1 \\  -6 & 6 & 6 & -6 & -3 & -3 & 3 & 3 & -4 & 4 & -2 & 2 & -2 &    -2 & -1 & -1 \\  2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0    & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1    & 0 \\  -6 & 6 & 6 & -6 & -4 & -2 & 4 & 2 & -3 & 3 & -3 & 3 & -2 &    -1 & -2 & -1 \\  4 & -4 & -4 & 4 & 2 & 2 & -2 & -2 & 2 & -2 & 2 & -2 & 1 &    1 & 1 & 1 \\ \end {array}\right)$$

이 역행렬은 mathematica나 maple 등의 프로그램을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 이렇게 구한 $f(x, y)$는 $[0,1]\times [0,1]$ 영역에서 연속인 smooth 한 곡면을 형성한다. 또한 인접하는 그리드 영역의 곡면과 경계에서 smooth 하게 연결된다.

/* 픽셀의 위치가 grid의 교차점이 되도록 표현하였다*/

/* [ix, ix+1][iy, iy+1] 영역에서 보간을 하는 경우에, 주변 픽셀의 정보는 
** p[a][b]에 들어가고, p[a][b]= Image (ix - 1 + a, iy - 1 + b)
** 0 <= x < 1, 0 <= y < 1 
*/
double BicubicInterpolate(double p[4][4], double x, double y) { 
    double a00 = p[1][1];
    double a01 = -.5*p[1][0] + .5*p[1][2];
    double a02 = p[1][0] - 2.5*p[1][1] + 2*p[1][2] - .5*p[1][3];
    double a03 = -.5*p[1][0] + 1.5*p[1][1] - 1.5*p[1][2] + .5*p[1][3];
    double a10 = -.5*p[0][1] + .5*p[2][1];
    double a11 = .25*p[0][0] - .25*p[0][2] - .25*p[2][0] + .25*p[2][2];
    double a12 = -.5*p[0][0] + 1.25*p[0][1] - p[0][2] + .25*p[0][3] + 
                  .5*p[2][0] - 1.25*p[2][1] + p[2][2] - .25*p[2][3];
    double a13 = .25*p[0][0] - .75*p[0][1] + .75*p[0][2] - .25*p[0][3] - 
                 .25*p[2][0] + .75*p[2][1] - .75*p[2][2] + .25*p[2][3];
    double a20 = p[0][1] - 2.5*p[1][1] + 2*p[2][1] - .5*p[3][1];
    double a21 = -.5*p[0][0] + .5*p[0][2] + 1.25*p[1][0] - 1.25*p[1][2] - 
                 p[2][0] + p[2][2] + .25*p[3][0] - .25*p[3][2];
    double a22 = p[0][0] - 2.5*p[0][1] + 2*p[0][2] - .5*p[0][3] - 2.5*p[1][0] + 
                 6.25*p[1][1] - 5*p[1][2] + 1.25*p[1][3] + 2*p[2][0] - 5*p[2][1] + 
                 4*p[2][2] - p[2][3] - .5*p[3][0] + 1.25*p[3][1] - p[3][2] + .25*p[3][3];
    double a23 = -.5*p[0][0] + 1.5*p[0][1] - 1.5*p[0][2] + .5*p[0][3] + 1.25*p[1][0] - 
                 3.75*p[1][1] + 3.75*p[1][2] - 1.25*p[1][3] - p[2][0] + 3*p[2][1] - 
                 3*p[2][2] + p[2][3] + .25*p[3][0] - .75*p[3][1] + .75*p[3][2] - .25*p[3][3];
    double a30 = -.5*p[0][1] + 1.5*p[1][1] - 1.5*p[2][1] + .5*p[3][1];
    double a31 = .25*p[0][0] - .25*p[0][2] - .75*p[1][0] + .75*p[1][2] + 
                 .75*p[2][0] - .75*p[2][2] - .25*p[3][0] + .25*p[3][2];
    double a32 = -.5*p[0][0] + 1.25*p[0][1] - p[0][2] + .25*p[0][3] + 1.5*p[1][0] - 
                 3.75*p[1][1] + 3*p[1][2] - .75*p[1][3] - 1.5*p[2][0] + 3.75*p[2][1] - 
                 3*p[2][2] + .75*p[2][3] + .5*p[3][0] - 1.25*p[3][1] + p[3][2] - .25*p[3][3];
    double a33 = .25*p[0][0] - .75*p[0][1] + .75*p[0][2] - .25*p[0][3] - .75*p[1][0] + 
                 2.25*p[1][1] - 2.25*p[1][2] + .75*p[1][3] + .75*p[2][0] - 2.25*p[2][1] + 
                 2.25*p[2][2] - .75*p[2][3] - .25*p[3][0] + .75*p[3][1] - 
                 .75*p[3][2] + .25*p[3][3];
    double x2 = x * x;
    double x3 = x2 * x;
    return a00 + (a01 + (a02  + a03 * y) * y) * y +
          (a10 + (a11 + (a12  + a13 * y) * y) * y) * x  +
          (a20 + (a21 + (a22  + a23 * y) * y) * y) * x2 +
          (a30 + (a31 + (a32  + a33 * y) * y) * y) * x3;
};

* 원본 4x4 이미지(RGB):  nearest-neighbor interploation으로 256x256 크기로 만듦;

* bicubic interpolation 결과 (256x256):

* bilinear interpolation 결과 (256x256):

코드 구현 일부:  bicubic interpolation은 주변의 16개 픽셀 정보가 필요한데, 가장자리 픽셀인 경우는 이를 충족시킬 수 없으므로 이를 해결하기 위해 영역 밖은 가장자리 픽셀이 반복된 것으로 처리하는 것이 가장 쉽다. 그리고 소스 영상이 큰 경우에는 문제가 되지 않지만 예제처럼 작은 소스 영상의 경우는 가장자리 부근에서 단순 채움을 사용하면 왜곡이 발생한다. 이를 해소하기 위해서는  소스 픽셀 위치가 픽셀의 중간을 나타낸 것으로 처리하면 된다. 

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Posted by helloktk

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  1. 2010.12.02 00:49  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

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