Geometry & Recognition

평면에서 주어진 벡터장의 orientation을 찾는 문제는 영상처리 알고리즘에서 자주 접하게 된다. 벡터의 방향은 두 성분의 부호와 상대적인 크기에 따라 달라지지만, 기준선에 대해 상대적으로 기울어진 정도를 나타내는 orientation은 정반대 방향의 두 벡터 $(v_x, v_y)$와 $(-v_x, -v_y)$에 같은 값이 부여되고, 그 값은 벡터의 $x$ 성분과 $y$ 성분의 비의 arctangent 값

$$\theta=\tan^{-1} \left( \frac {v_y}{ v_x }\right)$$

로 계산할 수 있다. 

영상처리에서는 영상에 내재하는 잡음에 의한 영향을 줄이기 위해 한 지점에서 orientation을 추정할 때 보통 그 지점 주변의 벡터 성분의 평균을 이용한다. 주변에서 정반대 방향의 두 벡터가 있는 경우 이 두 벡터는 기하학적으로 같은 orientation을 주지만 더하는 경우 서로 상쇄되어 평균에는 기여가 없으므로 위 식을 사용하면 잘못된 예측을 줄 수 있다. 따라서 잡음을 고려한 상황에서 좀 더 robust 하게 orientation을 추정할 수 있는 방법이 있어야 한다. 벡터 성분의 상대적인 부호만 고려하는 식으로 바꾸기 위해서 $\tan \theta$ 대신에 $\tan (2\theta)$를 고려하자.

\[ \tan (2\theta) = \frac {2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}=\frac {2v_x v_y}{v_x^2 - v_y^2}. \]

분모에서는 각 성분의 제곱, 분자는 두 성분의 곱으로 표현되므로 성분 사이의 상대부호가 같은 경우에는 우측식은 같은 값을 주므로 분모, 분자를 주변 평균값 $v_x v_y ~\longrightarrow ~<v_x v_y>$, $v_x^2 - v_y^2 ~\longrightarrow ~<v_x^2> - < v_y^2>$으로 대체하여도 올바른 orientation을 주게 된다. orientation 각도는

\[ \theta = \frac {1}{2} \tan^{-1}\left( \frac {2 <v_x v_y>}{ <v_x^2> - <v_y^2>}  \right)  \]

으로 주어진다. 실제 계산은 인자가 singular해지는 경우를 피하기 위해서 $\text {atan2}()$ 함수를 사용한다.

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