나무막대(길이=$\ell$)를 바위에 쳐서 부러뜨리려고 한다. 막대의 어느 지점이 바위에 닿게 쳐야 손이 받은 충격을 최소로 할 수 있을까? 손은 막대의 끝을 잡았고, 중력은 무시해도 된다.
풀이:
바위를 치는 지점이 막대의 질량중심을 넘지 않으면 질량중심의 가속도와 손잡이 부분에서 회전에 의한 접선 가속도가 같은 방향이어서 항상 힘을 받는다. 막대가 바위를 치는 과정에서 바위는 막대에게 힘 $F_\text{rock}$을 주고 또 손에서 힘($F_\text{hand}$)을 줄 수 있다. 이 두 힘이 막대의 질량중심을 가속시키고, 또한 질량중심에 대해서 회전운동을 만든다. 손이 잡고 있는 끝부분은 질량중심과 같은 가속도 성분($a_\text{cm}$)과 회전에 의한 반대방향의 접선가속도($a_t = \frac{\ell}{2} \alpha$)를 가지게 된다. 방향이 반대인 이 두 가속도의 벡터합이 손을 잡고 있는 끝부분의 알짜 가속도가 되고, 끝부분이 움직이지 않으면 손에 충격을 주게 된다. 따라서 손이 충격을 받지 않기 위해서는 이 가속도가 0이 되도록 바위에 부딪히는 위치를 조절해야 한다. 손에서 부딪히는 지점까지 거리를 $x$라면, 막대의 운동방정식은
\begin{align} &\text{translation:}~m a_\text{cm} = F_\text{rock}+F_\text{hand},\\ &\text{rotation:}~I \alpha = F_\text{rock} \left( x- \frac{\ell}{2}\right) - F_\text{hand} \frac{\ell}{2} \end{align}
손잡이 부분의 가속도가 0이 되어야 하므로
\begin{align} a_\text{end} &= a_\text{cm} - \frac{\ell}{2} \alpha \\&= \frac{F_\text{rock}+F_\text{hand}}{m} - \frac{\ell}{2I} \left[ F_\text{rock} \left( x-\frac{\ell}{2}\right) - F_\text{hand} \frac{\ell}{2}\right]\\ &=0 \\ \to~~ &\frac{F_\text{hand}}{F_\text{rock}} = \frac{m\ell^2 \left(\frac{x}{\ell} - \frac{1}{2} - \frac{2I}{m\ell^2} \right)}{1 + \frac{m\ell^2}{4I} } \end{align}
손이 작용하는 힘이 0이기 위해서는
$$ \frac{x}{\ell} = \frac{1}{2} +\frac{2I}{m\ell^2}$$을 만족시켜야 한다. 막대의 회전관성이 $I = m\ell^2/12$이므로
$$ x = \frac{2}{3} \ell$$
즉 막대 끝을 잡고 내리칠 때 막대 길이의 $2/3$ 지점을 치면 손이 받은 충격이 없게 된다.
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