마찰이 있는 책상모서리에 그림과 같이 수평하게 왼쪽 끝이 걸쳐있는 막대를 잡고 있다가 놓는다. 마찰때문에 막대는 바로 미끄러져 떨어지지 않고 모서리를 기준으로 회전운동을 하다가 미끄러져 떨어진다. 그 때 $\theta$는? 단, 막대와 모서리 사이의 정지마찰계수는 $\mu$.
풀이:
막대에 작용하는 힘은 막대방향의 마찰력(막대가 미끄러지는 것을 방해하는 방향), 막대에 수직하게 수직항력, 그리고 중력이 작용한다.
막대 왼쪽 끝에 대한 회전방정식을 세우면: 중력만 토크에 기여한다
$$ mg \frac{L}{2} \cos \theta = \frac{1}{3} mL^2 \alpha$$
막대 질량중심에 대한 회전방정식을 세우면: 수직항력만 토크에 기여한다
$$ N \frac{L}{2} = \frac{1}{12} mL^2 \alpha $$
따라서 두 식에서 수직항력은 $$N = \frac{1}{4} mg \cos \theta$$
막대의 질량중심이 원운동을 하고 회전중심을 향하는 힘은 마찰력과 중력의 막대방향성분
$$ f- mg \sin \theta = m \frac{L}{2} \omega^2$$
에너지 보존을 사용하면 각속도를 구할 수 있다.
$$ mg \frac{L}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}\frac{1}{3}mL^2 \omega^2$$
이므로
$$ f = \frac{5}{2} mg \sin \theta$$
따라서 미끄러지지 않기 위해서는
$$ f\le\mu N\quad \to \quad \tan \theta \le \frac{\mu}{10}$$
변형된 상황: 막대길이의 $(1/2-x)L$만큼이 테이블 위에 있을 때
풀이:
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