한승연의 사진 속 나이는?

상황: 지구에서 구하라와 한승연이 서로 반대방향으로  0.6c의 일정한 속력으로 출발하는 은하철도 999에 각각 탔다(처음 가속은 무시한다. 시계는 출발할 때 동일하게 맞춘다). 지구시계로 출발 후 1년이 지났을 때 구하라가 한승연에게 빛을 이용해서 사진을 찍으라고 신호를 보낸다. 한승연이 빛신호를 받는 즉시 사진을 찍어서 구하라에게 보냈을 때 사진 속의 한승연은 지구에서 출발할 때보다 얼마나 더 나이들어 보일까?

구하라 관점: 지구에서 출발할 때 구하라, 한승연, 지구 시계를 0으로 설정하자. 구하라나 한승연은 지구에 대해서 상대속력 $v=0.6c(\to \gamma_v = 5/4)$로 멀어지므로 지구시계로 1년이 지난 시점에 시간지연 효과에 의해서 $1yr/ \gamma_v = 0.8 yr$ 만큼 나이를 먹게 된다. 그리고 구하라가 볼 때 한승연은 (속도변환공식에 의해) $u=15c/17$의 속도로 멀어진다. 구하라가 자신의 시계로 출발 후 $0.8yr$ 시점에 한승연에게 보낸 빛이 도달하는 시간을 $t$이라고 하면  (발사한 빛이 움직인 거리)=(한승연이 처음부터 움직인 거리)이어야 하므로 

$$ (t  - 0.8 yr) \times c  = t\times (15c/17)~~~\to~~~ t _1= 6.8 yr$$

구하라가 보기에 자신의 시계가(구하라의 고유시간) 6.8년을 가리킬 때 상대적으로 $u=15c/17(\to \gamma_u = 17/8)$의 속도로 움직이는 한승연의 시계는(한승연의 고유시간) 시간지연때문에

$$ t' =  t/\gamma_u = (6.8yr)/(17/8)=3.2yr $$

이 흐른다. 따라서 사진 속에 찍힌 한승연의 나이는 출발 전보다 3.2년 더 들어보일 것이다.

 

지구 관점: 지구에서 볼 때 구하라가 발사한 빛의 경로가 $x = 0.6 + c(t-1)$이고, 한승연의 위치는 $x_h = 0.6c t$ 이므로 두 경로가 만나는 시간은 $t = 4yr$다. 따라서 빛을 받을 때 한승연의 시계는 시간지연에 의해

$$t' = (4) /\gamma_v = 3.2yr$$