열차의 속도가 더 빠른 경우는?

10명의 몸무게가 같은 사람이 지붕이 없는 정지한 열차에 타고 있다. 열차와 레일 사이의 마찰은 무시할 수 있다. 사람들은 열차 위에서 달리기를 하여 뒤쪽으로 뛰어내린다. 각 사람이 뛰어내리는 속도는 열차 위에서 볼 때 $u$로 일정하다.(열차에 대한 상대속도가 일정) 어떤 방식으로 뛰어내려야 열차의 최종 속도가 가장 빠를까?

1. 10명이 동시에 뛰어내린다.

2. 1명씩 차례로 뛰어내린다.

3. 차이 없다.

풀이: 사람의 질량을 $m$, 열차의 질량을 $M$로 놓고, 한꺼번에 뛰어내리는 직 후 열차의 속도를 $V$라면, 사람의 속도는 $V-u$이다(지상 기준). 운동량이 보존되므로

$$0=MV+Nm(V-u)\to V=\frac{Nm}{M+Nm}u$$. 

순차적으로 뛰어내리는 경우: 열차에 n명의 사람이 남아 있을 때 속도를 $V_n$이라면($V_N=0$), 한 명이 추가로 뛰어 내려면 열차의 속력은 $V_{n-1}$이고 되고(이때 사람의 속도는 $V_{n-1}-u$(지상 기준)), 이 과정에서 운동량 보존을 적용하면

$$(M+nm)V_n=(M+(n-1)m)V_{n-1}+m(V_{n-1}-u)$$

$$\therefore V_{n-1}=V_n+\frac{m}{M+nm}u$$

따라서 0명이 남았을 때 속도 $V_0$는

$$V_0=V_N+\frac{m}{M+Nm}u+\frac{m}{M+(N-1)m}u+\cdots +\frac{m}{M+m}u=\sum _{k=1}^N\frac{m}{M+km}u$$

이어서 $V_0>V$임을 알 수 있다. 

 

구체적인 계산없이 정성적으로 설명할 수 있는가?