Gausssian Scale Space

주어진 영상의 Gaussian scale space는 원본 영상과 gaussian kernel의  convolution 결과로 정의된다.
$$L(x, y; σ)= G(x, y; σ) * I(x, y);$$

이 표현은 임의의 $σ$에 대해 정의되지 실제 계산에서는 유한한 범위의 스케일만 사용한다. 또한 스케일 값이 한 옥타브 이상 증가하면 원본 영상의 해상도를 그대로 유지할 필요가 없다. 특정 스케일보다 작은 구조는 더 이상 관심 대상이 아니라는 점을 고려하면, 스케일을 두 배로 증가시키는 대신 영상을 절반으로 줄이고 동일한 스케일을 사용하는 편이 계산상 훨씬 효율적이다. 따라서 Gaussian scale space를 image pyramid 형태로 표현하는 것이 자연스럽다.
아래 예는 scale space를 3개의 옥타브로 구성한 것이다. 각 옥타브는 수직 방향으로 3개의 스케일 구간을 가지, 각 옥타브의 마지막 영상은 옥타브 간의 관계를 비교하기 위해 추가한 것이다. 한 단계 위 옥타브의 영상은 전 단계 옥타브에서 대응하는 스케일 영상을 1/2로 down-sampling하면 얻을 수 있다.

 

이를 확인하기 위해 1차원인 경우만 고려하자. Gaussian convolution을 적용하여 얻은 영상 $$L(x; σ) = G(x; σ) * I(x)$$를 1/2 down-sampling한 영상을 $L'(x;\sigma)$로 정의하면,
$$\begin{align} L'(x; σ)\equiv L(2x; σ)  &= \int \frac{1}{σ} \exp\Big[-\frac{(2x-x')^2}{2σ^2}\Big] I(x') dx',   \quad (x'\rightarrow 2x') \\&=\int \frac{1}{σ} \exp\Big[- \frac{(2x-2x')^2}{2σ^2} \Big] I(2x') d(2x')\\&= \int \frac{1}{\sigma/2} \exp \Big[ -\frac{(x-x')^2 }{2(σ/2)^2}\Big] I(2x') dx'   \\  &=G(x; σ/2) * I(2 x);\end{align}$$임을 알 수 있다. 즉, 스케일 $σ$에서 Gaussian convolution을 적용한 영상을 1/2 down-sampling한 결과는, 원본 영상을 먼저1/2 down-sampling 한 후 스케일 $σ/2$의 Gaussian kernel로 적용한 결과와 동일하다. 따라서 한 옥타브 증가한 영상을 1/2 down-sampling하면, 다음 옥타브에서 스케일이 두 배 증가한 영상과 동일한 상대적 scale space 표현을 얻을 수 있다. 이러한 관계를 이용하면 불필요하게 큰 해상도의 영상을 계속 처리하지 않고도 Gaussian scale space를 효율적으로 구성할 수 있다.