동전은 언제 책상 모서리에서 떨어지는가?

책상 위를 구르는 동전이 책상 가장자리에 도달하면 모서리를 축으로 회전을 한다. (물론 모서리에서 마찰이 충분히 제공된다는 전제 하에서). 그러다가 모서리에서 떨어지게 되는데 언제일까?

모서리를 축으로 $\theta$만큼 회전한 상황에서 에너지 보존을 쓰면 위치에 따른 속력을 구할 수 있다:

$$mgR= \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2} I_\text{coin} \omega^2 + mgR \cos \theta, \quad (v=R\omega, ~I_\text{coin} = \tfrac{1}{2} mR^2 )$$

$$ \rightarrow ~v^2 = \tfrac{4}{3} gR(1-\cos \theta)$$

동전의 질량중심은 모서리를 축으로 회전을 하는데 수직항력과 중력의 일부가 구심력을 만든다.

$$\sum F_c= - N+mg\cos \theta =\frac{mv^2}{R}$$

모서리와 접촉을 유지하기 위해서는 수직항력이 사라지지 않아야 하므로

$$N= mg \cos \theta -\frac{mv^2}{R} > 0 \quad \rightarrow \quad  {v^2}  < gR \cos \theta.$$ 

에너지 보존에서 얻은 결과와 결합하면 모서리에 접촉하고 있는 각 범위를 구할 수 있다.

$$ \tfrac{4}{3} (1-\cos \theta) <  \cos \theta \quad \quad \therefore \theta <\cos^{-1}\left( \tfrac{4}{7}\right).$$

대략 $\theta = 55.15^\circ$에서 책상 모서리와 이별한다.