전기력은?

전하 $q$로 균일하게 대전된 정사각형 판(한변 길이=$a$)의 중심에서 위쪽으로 $a/2$ 만큼 떨어진 지점에 점전하 $Q$가 있다. 둘 사이에 작용하는 전기력은 같은 거리만큼 떨어진 두 점전하 $Q$와 $q$사이에 작용하는 전기력보다 몇 배 센가?

1. $\pi/2$

2. $\pi/4$

3. $\pi/6$

4. $\pi/8$

 

Hint: 구체적인 적분을 할 필요는 없다.

면전하가 $Q$에 작용하는 쿨롱힘은

$$ F = k Q \sigma \int_\text{rect} \frac{dA }{r^2} \hat{k}\cdot \hat{r} =kQ\sigma \int_\text{rect} d\Omega$$

그런데 정사각형의 중심에서 $a/2$ 떨어진 지점에서 잰 입체각은 대칭성에 의해서 $4\pi$의 1/6이다. 따라서 

$$ F = kQ\sigma \frac{4\pi}{6} = \frac{kQ q}{(a/2)^2 } \frac{\pi}{6}$$