얼마나 일을 해야 하는가?

무게가 $W$인 원통형 물체의 절반이 잠긴 채 물에 떠 있다. 물체를 물에서 완전히 빼내기 위해 해주어야 할 일은? 단, 물이 담긴 용기의 단면적은 물체의 단면적의 $3$배이고 물체의 높이는 $H$다.

1. $WH/6$

2. $WH/4$

3. $WH/3$

4. $WH/2$

5. $WH$

 

물의 밀도를 $\rho$, 물체의 단면적을 $A$라면 처음 떠 있을 조건에서 $\rho g AH/2 = W$이다. 물체가 $x$만큼 올라가서 수면이 $y$만큼 내려간다면, 단면적의 차이가 2배(물이 채워지는 부분)이므로  $y=x/2$임을 알 수 있다. 따라서 물체가 잠겨있는 깊이는 $H/2 - (x+y)=H/2-3x/2$이고, 이에 따른 부력은 $F_b = \rho g A (H-3x)/2= \frac{W}{H}(H- 3x)$이다. 물체를 들어올리는 데 필요한 외력은 $F = mg - F_b = \frac{W}{H} 3x$.  $x=H/3$일 때 물체가 물에서 완전히 빠져나오므로 필요한 최소의 일은

$$ \text{Work} = \int_0^{H/3} F dx = \frac{WH}{6}$$

임을 알 수 있다.