반지름이 $R$인 원형트랙을 가속하여 미끄러짐없이 등속 원운동을 할 수 있는 최대 속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마의 거리를 움직여야 하는가? 트랙과 타이어 사이의 정지 마찰계수는 $\mu$이다.
1. $\frac{\pi R}{4}$
2.$\frac{\pi R}{2}$
3.$ \pi R$
4.$2\pi R$
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자동차가 미끄지지않고 받을 수 있는 최대 힘은 최대 정지마찰력이다: $F=\mu mg$이다. 따라서 가능한 가속도 크기는 $\mu g$. 속도가 $v$일 때 가속도 크기는(구심 가속도+접선 가속도)
$$ a^2 = \Big(\frac{dv}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{v^2}{R}\Big)^2= \Big( v \frac{dv}{ds} \Big)^2 + \Big( \frac{v^2}{R}\Big)^2 = (\mu g)^2$$
정리하면
$$ \frac{d(v^2/\mu gR)}{\sqrt{1- (v^2/\mu gR)^2} }= \frac{2}{R} ds$$
가능한 최대 등속 원운동 속력이 $v_{max}=\sqrt{\mu gR}$이므로 위 식을 적분하면
$$ \sin ^{-1} (1) = \frac{2s}{R} \quad \rightarrow ~~s = \frac{\pi R}{4}$$
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