얼마의 거리를 가속해야하는가?

반지름이 $R$인 원형트랙을 가속하여 미끄러짐없이 등속 원운동을 할 수 있는 최대 속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마의 거리를 움직여야 하는가? 트랙과 타이어 사이의 정지 마찰계수는 $\mu$이다.

1. $\frac{\pi R}{4}$

2.$\frac{\pi R}{2}$

3.$\pi R$

4.$2\pi R$

 

자동차가 미끄지지않고 받을 수 있는 최대 힘은 최대 정지마찰력이다: $F=\mu mg$이다. 따라서 가능한 가속도 크기는 $\mu g$. 속도가 $v$일 때 가속도 크기는(구심 가속도+접선 가속도)

$$a^2 = \Big(\frac{dv}{dt}\Big)^2  + \Big(\frac{v^2}{R}\Big)^2= \Big( v \frac{dv}{ds} \Big)^2  + \Big( \frac{v^2}{R}\Big)^2 = (\mu g)^2$$  

정리하면

$$\frac{d(v^2/\mu gR)}{\sqrt{1- (v^2/\mu gR)^2} }= \frac{2}{R} ds$$

가능한 최대 등속 원운동 속력이 $v_{max}=\sqrt{\mu gR}$이므로 위 식을 적분하면

$$\sin ^{-1} (1) = \frac{2s}{R} \quad \rightarrow ~~s = \frac{\pi R}{4}$$