벽에서 $L$만큼 떨어진 지점에서 벽을 향해 공을 속도 $v$로 찬다. 공이 벽에 충돌한 지점이 가장 높아지기 위해서는 어떤 각도로 차야 하는가? 단, 공을 차는 속도는 충분히 커서 각도를 잘 조절하면 항상 벽과 충돌할 수 있다.
힌트: 구체적인 계산이 없더라도 각도가 대략적으로 어떤 특성을 가져야 하는지 예측할 수 있다. 주어진 물리량이 $v$, $g$, $L$인데 각도가 차원이 없으므로 이들의 적당한 차원없는 조합을 생각해야 한다. 그런데 $gL$이 속도의 제곱차원을 가지므로 각은 $gL/v^2$ 또는 $v^2/gL$의 함수로 써져야 한다. 속도가 커질수록 발사각을 크게 하는 것이 더 높은 곳에 충돌할 수 있으므로 $\theta = f(v^2/gL)$ 형태의 증가함수이어야 함을 알 수 있다. 그리고 $\theta=45^\circ$일 때는 꼭지점이 최대 높이고 $v^2/gL=1$이므로 $f(1) = 45^\circ$여야 함을 알 수 있다. 그리고 $v\to \infty$이면 $\theta\to 90^\circ$, 즉, $f(\infty) = 90^\circ$임도 추측할 수 있다. 물론 던지는 각도는 벽에 부딛히는 지점의 높이가 0이상이어야 하므로 $$\sin (2\theta) \ge gL /v^2$$을 만족시켜야 한다.
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