Geometry & Recognition

정지한 판 위에 실린더가 놓여있다. 판과 실린더 사이의 마찰은 충분해서 실린더는 판 위에서 미끄러지지 않는다. 판을 그림처럼 오른쪽으로 당기면 실린더는 어떻게 운동할까?

A. 실린더의 회전방향은?

1. 시계방향

2. 반시계방향

3. 회전하지 않음

B. 실린더 중심의 운동방향은?

1. 왼쪽으로 가속

2. 오른쪽으로 가속

3. 움직이지 않음

공기 저항이 속력에 비례하는 경우는 물체의 궤적은 closed form이 있다. 그러나 저항력이 속력의 제곱에 비례하게 주어지는 경우는 수치적으로 해결해야 한다. 움직이는 방향의 단면적이 $A=\frac{1}{4}\pi D^2$인 물체가 밀도가 $\rho$인 공기 속에서 $\vec{v}$의 속도로 움직일 때 저항력은 

$$ {\vec F}_D = \frac{1}{4} \rho A v \vec{v}=\frac{1}{16}\pi \rho D^2 v\vec{v}=c v \vec{v}$$

로 표현할 수 있다. 따라서 물체의 운동방정식은

$$ m \ddot{\vec r} = m\vec{g}- c v \vec{v},$$

또는 성분으로 쓰면

$$ m \ddot{x} = - c \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2} \dot{x}, $$

$$m \ddot{y} = -mg - c \sqrt{\dot{x}^2+ \dot{y}^2} \dot{y}$$

로 주어진다. 아래의 mathematica 코드는 구체적인 수치(SI-단위 기준, 발사각 $\theta_0$, 발사속력 $v_0$)를 대입해서 공기저항이 있을 때와 없을 때 물체의 궤적을 보여준다.

공기 저항이 있을 때 (2)

한 지점에서 일정한 속력으로 마구 쏘아대는 대공포가 있을 때 포탄이 도달할 수 없는 영역은 어떻게 찾을 수 있을까? 유한한 발사속력 때문에 도달할 수 있는 영역에는 분명히 한계가 있다.

공기 저항을 무시할 때 포탄이 그리는 궤적은 포물선이 된다. 따라서 포탄에 맞지 않으려면 포탄이 그리는 가능한 모든 포물선에 접하는 곡선 밖에 있어야 할 것이다. 발사 각도가 $ \theta$일 때, $v_0$ 속력으로 발사한 포탄이 그리는 포물선은

$$ y= \tan \theta x - \frac{1}{4H \cos ^2 \theta} x^2.$$

로 표시된다. 여기서 $H=v_0^2/2g$는 포탄이 도달할 수 있는 최고 높이다. 

발사 평면의 한 점 $(x_0, y_0)$에 포탄이 도달하기 위해서는 

$$ y_0 = \tan \theta x_0 + \frac{1}{4H \cos ^2 \theta} x_0^2$$

을 만족시키는 발사각 $\theta$가 있어야 한다. $1/\cos^2 \theta = 1+ \tan^2 \theta$이므로 위 식은 $\tan \theta$에 대한 이차식이므로 일반적으로 발사각이 2개가 있다. 만약 $(x_0, y_0)$가 포탄에 맞는 경계영역에 있다면 근이 하나가 있을 것이고, 포탄이 도달할 수 없는 영역에 있다면 근이 존재할 수 없다. 따라서 포탄이 도달할 수 있는 영역의 경계는 이 $\tan \theta$에 대한 이차방정식이 중근을 가질 때 $(x_0, y_0)$의 자취로 주어진다.

위 식을 정리하면 

$$ \frac{x_0^2}{4H}   \tan ^2  \theta + x_0 \tan \theta + \frac{x_0^2 }{4H} - y_0 = 0$$

이므로 판별식이 0일 조건은 

$$ x_0^2 - 4 \frac{x_0^2}{4H}  \Big(\frac{x_0^2}{4H} - y_0\Big) = 0 \quad \Rightarrow\quad y_0 = H - \frac{1 }{4H} x_0^2$$

로 쓰인다. 따라서 대공포로 부터 안전한 영역의 경계는 다음에 주어지는 포물선 바깥 영역이다.

$$\frac{ y}{H} =   1-  \frac{x^2}{R^2}  $$

여기서 $R=2H$는 $v_0$로 발사했을 때 최대 수평 도달거리를 나타낸다. 3차원 공간에서는 안전영역의 경계는 이 포물선을 주축에 대해서 회전시킨 포물면이 될 것이다.

중력이 일정하지 않고 $1/r^2$으로 변할 때 지상에 다시 떨어지는 물체의 경로는 지구의 중심을 한 초점으로 하는 타원의 일부분이 된다. 이 경우 물체 궤도의 envelope은 어떻게 주어질까?