Geometry & Recognition

처음 용수철은 원래 길이($L_0$)보다 $  mg /k=d_0$만큼 압축이 된 상태($L = L_0 -d_0$)이다. 바닥의 물체가 뜨기 위해서는 용수철이 원래길이보다 $d_0$만큼 더 늘어나야 한다. 위로 $v$로 움직이는 관찰자가 보면 바닥에서 떨어지기 직전 역학적 에너지는(위쪽 물체를 중력 위치에너지 기준점으로 삼음)

$$ E_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kd_0^2 - mg(L + 2d_0)$$

충돌 직전 역학적 에너지는 용수철의 길이가 0이 되게 압축이 되었으므로

$$ E_f = \frac{1}{2} k (L+d_0)^2 $$

이다. 정리하면 

$$v^2 = \frac{k}{m} \left( L + \frac{2mg}{k} \right)^2 \ge  \frac{k}{m} \left( 2\sqrt{\frac{2Lmg}{k}} \right)^2$$ 

$$ \therefore~v \ge 2 \sqrt{2gL}$$

풀이: 사람의 질량을 $m$, 열차의 질량을 $M$로 놓고, 한꺼번에 뛰어내리는 직 후 열차의 속도를 $V$라면, 사람의 속도는 $V-u$이다(지상 기준). 운동량이 보존되므로

$$ 0 = MV + Nm(V-u)\quad \rightarrow \quad V = \frac{Nm}{M+Nm}u$$. 

순차적으로 뛰어내리는 경우: 열차에 n명의 사람이 남아 있을 때 속도를 $V_n$이라면($V_N=0$), 한 명이 추가로 뛰어 내려면 열차의 속력은 $V_{n-1}$이고 되고(이때 사람의 속도는 $V_{n-1}-u$(지상 기준)), 이 과정에서 운동량 보존을 적용하면

$$ (M+ nm)V_n = (M + (n-1) m) V_{n-1} + m(V_{n-1}-u)$$

$$ \therefore V_{n-1}=V_n + \frac {m}{M+nm} u$$

따라서 0명이 남았을 때 속도 $V_0$는

$$V_0 = V_N + \frac{m}{M+Nm}u + \frac {m}{M+(N-1) m} u +\cdots+\frac{m}{M+m}u=\sum_{k=1}^{N} \frac{m}{M+ km}u$$

이어서 $V_0 >V$임을 알 수 있다. 

구체적인 계산없이 정성적으로 설명할 수 있는가?