Geometry & Recognition

두 극판이 접지된 평행판 축전기가 있다. 이제 아래 극판의 일부분을 전기적으로 분리한 후 전위가 $V$가 되게 만들었다. 이 상황에서 아래 극판에 모인 총 전하는(접지된 부분+ $V$의 전위가 걸린 부분)?

풀이: Laplace 방정식을 풀 수도 있지만 Green's reciprocity theorem(https://kipl.tistory.com/479)을 이용하자. 우선 같은 극판 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우를 찾으면, 아래 극판 전체가 $+\sigma$, 위쪽 극판 전체가 $-\sigma$로 대전된 경우 일 것이다(위쪽 극판 접지). 이 경우 전위함수는 

$$V_1(z) =  \frac{\sigma }{\epsilon_0} (d-z)~~~~0 \le z \le d$$

우리가 구하고자 하는 계에서 아래 극판의 정사각형 내부에 있는 총전하를 $Q_1$, 극판 나머지 부분에 분포한 총전하를 $Q_2$로 하자. 그리고 전위함수가 $$ V_2(x, y, z) = \left\{ \begin{matrix} V, & |x| \le a, ~|y|\le a ,~z=0 \\ 0, &\text{otherwise}\end{matrix}\right.$$ 로 주어지므로

$$ \int \rho_1 V_2 d^3x =  4a^2 \sigma  V $$

\begin{align} \int \rho_2 V_1 d^3x &= \int_\text{square} \sigma_\text{square}(x, y,0) V_1(z=0) d^2x \\ &+ \int_\text{other} \sigma_\text{other}(x, y, 0) V_1(z=0) d^2x\\ &= (Q_2 + Q_1) V_1(0) \end{align}

$$ \to~~ Q_1 +Q_2 = 4a^2 \sigma \frac{V}{V_1(0)} =\frac{4\epsilon_0 a^2 V}{d} $$

반지름이 $R$인 구형 축전기가 있다. 다른 물체와 충돌로 인해 표면의 일부가 안으로 찌그러져 버렸다. 찌그러져 패인 부분의 부피가 이전의 1% 정도 일 때 축전기 용량은 어떻게 변할까?

1. 1% 증가
2. 1% 감소
3. 0.5% 증가
4. 0.5% 감소
5. 0.333% 증가
6. 0.333% 감소

풀이: 반지름 $R$인 구형 축전기의 전기용량은 $C=4\pi \epsilon_0 R$로 주어진다. 전하 $Q$로 충전된 축전기에 저장된 전기에너지가 $U= \frac{Q^2}{2C}$이다. 전하를 일정하게 유지하면서 전기용량이 변하면 $\Delta U= - \frac{Q^2}{2C}\frac{\Delta C}{C}$이므로 전기용량이 감소하면 저장된 에너지가 증가한다. 구형 축전기 내부에는 전기장이 없지만 외부에는 전기장이 형성되어 있으므로, 내부로 찌그러지면 전기장이 있는 영역이 증가하므로 축전기가 저장한 에너지가 증가하게 된다 (찌그린 외력이 일부 에너지를 제공했음). 구형 축전기의 패인 부분이 작으면 그 부분에서 전기장은 표면에서 전기장으로 근사를 할 수 있다. 표면에서 전기장이 $E_\text{surface} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R ^2}$로 주어진다. 그러면 찌그러진 부분에 저장된 에너지는 $$ \Delta U \approx  \left( \frac{1}{2}\epsilon_0E^2_\text{surface} \right) \times \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right)\times \frac{1}{100}$$

로 근사되므로

$$ \frac{\Delta C}{C} = -\frac{1}{300}$$

 임을 확인할 수 있다.

전기용량이 같은 축전기 6개를 이용해서 그림처럼 회로를 만들었다. a-b에 배터리를 연결할 때 전하가 충전되지 않는 축전기는?

a-b에서 보는 등가 전기용량은 단일 축전기의 몇 배일까?

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