Geometry & Recognition

Euclidean 공간에서 Cauchy-Schwartz inequality는 두 벡터 내적의 크기는 두 벡터 크기의 곱보다 작음을 보여준다. 그러나 Minkowski 공간에서는 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 잘 알려진 특수상대성 이론에서의 쌍둥이 역설(역설이라 표현되어 있지만 실제로 역설은 아니다) 예를 이용해서 보이자. 두 쌍둥이 중 A는 지구에서 남아 있고  B는 일정한 속도로 우주여행을 한 후에 다시 지구로 돌아왔을 때 여행을 한 쌍둥이 B가 더 젊다는 것은 특수상대성 이론이 보여준 자연의 법칙의 한 단면이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우 시공간에서 경로는 직선(시공간 벡터)으로 표현이 된다. 그리고 이 직선의 길이는(*Minkowski space 임에 주의) 시공간에서 이 두 지점(event)을 연결하는 직선을 따라 움직이는 사람의 끝 위치에서 나이가 시작에서 보다 얼마나 더 들었는가를 나타낸다. 여행을 떠난 쌍둥이 B의 목적지까지 시공간 벡터를 $\mathbf{a}$, 목적지에서 다시 지구까지 시공간 벡터를 $\mathbf{b}$라고 하면  다시 지구에서 두 쌍둥이가 재회하므로 두 벡터의 합은 지구에 남아 있는 쌍둥이 A의 시공간 벡터 $\mathbf{c}$와 같다.

$$ \mathbf{c}= \mathbf{a}+\mathbf{b}$$

여행을 시작해서 끝날 때까지 지구에 남아 있는 쌍둥이 A가 먹은 나이는 $|\mathbf{c}|$, 여행을 한 쌍둥이 B의 나이는 $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ (목적지에서 방향을 바꾸는과정이 필요하므로 이보다 약간 더 먹는다). 두 쌍둥이가 다시 만났을 때 지구에 남아 있는 쌍둥이가 더 나이가 들어 있으므로

$$ |\mathbf{c}|  \ge |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$

이다. 양변을 제곱을 하면 다음과 같은 역 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다(Mikowski metric의 signature에 선택에 무관하게 만들기 위해서 다시 제곱을 하였다)

$$ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \ge |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$$ 

고유길이가 $L$인 열차가 일정한 속도 $v$로 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다. 열차의 앞과 뒤에는 벽시계가 있고 밖에서 볼 수 있다. 철로변 모든 지점에 사진을 찍을 수 있도록 카메라가 일렬로 설치되어 있다고 하자. 이들 카메라가 동시에 사진을 찍었을 때 사진 속에 보이는 열차 앞과 뒤의 시계 바늘은?

1. 앞과 뒤 시계의 바늘은 동일하게 가리킨다.

2. 앞 시계 바늘이 뒷 시계 바늘보다 앞선다.

3. 뒤 시계 바늘이 앞 시계 바늘보다 앞선다.

힌트:

일정한 속도로 달리는 열차의 양 끝에 설현과 성소가 후레쉬를 들고 서 있다. 열차의 중앙에는 광센서가 놓여 있어서 양쪽에서 오는 빛을 동시에 받는 경우만 불이 켜진다. 설현과 성소가 동시에 후레쉬를 켠다. 지상에서 구하라가 이들의 실험을 관찰하고 있다. 구하라는 중앙의 광센서에서 불이 켜지는 것을 확인할 수 있을까?

설현 생각: 설현이나 성소로부터 중앙까지 거리가 같고 빛의 속력은 언제나 c이므로 중앙의 광센서에 동시에 도달하여 불이 켜지게 된다. 따라서 구하라도 센서의 불을 볼 수 있다.

구하라 생각: 구하라가 보기에도 설현(열차가 가는 방향으로 빛을 쏨)과 성소(열차가 가는 방향 반대로 빛을 쏨)의 후레쉬에서 나오는 빛은 중앙을 향해서 c의 속력으로 움직인다 (특수 상대성 기본가정2). 설현이 쏘는 빛이 진행하는 동안 센서는 멀어지고, 성소가 쏘는 빛에는 가까워진다. 따라서 성소가 쏘는 빛과 설현이 쏘는 빛은 센서에 동시에 도달할 수 없으므로 센서의 불은 켜지지 않는다.

누구의 생각이 맞을까? 틀린 사람은 어디서 잘못을 저질렀는가?

힌트: 한 지점에서 동시에 일어난 두 사건은 어느 관성계에서 보더라도 동시에 일어난다.

설현과 성소가 KTX 철로변에 일정한 거리 L만큼 떨어진 상태로 페인트 붓을 들고 서 있다. 일정한 속도로 달리는 KTX가 두 사람의 앞에 지날 때 동시에 KTX에 붓칠을 한다. KTX에는 구하라가 타고 있다. 설현과 성소가 칠한 페인트 자국의 거리를 구하라(또는 KTX 승무원)가 잴 때 얼마로 어떻게 나올까?

성소 생각: 구하라가 볼 때 성소와 설현의 사이 거리는 길이 수축에 의해서 L보다 줄어들어 보인다. 따라서 KTX의 페인트 자국은 L보다 작을 것이다.

설현 생각: KTX에 생길 두 페인트 자국의 사이 거리는 설현과 성소가 볼 때 길이 수축 때문에 짧게 보여야 하고 이 거리는 지상의 설현과 성소의 사이 거리와 같아야 한다. 따라서 구하라가 보는 페인트 자국의 거리는 L보다 커야 한다.

누구의 추론이 맞는가? 틀린 사람은 어디서 잘못을 했는가?