Geometry & Recognition

거울면을 포물면, 타원면, 또는 쌍곡면으로 만들면 독특한 반사특성을 갖는다. 포물면은 주축에 평행인 광선이 입사하면 항상 초점에 모이고(https://kipl.tistory.com/626), 타원면은 한 초점에서 나오는 광선들은 반대편 초점에서 다시 모이게 된다(https://kipl.tistory.com/624). 그럼 쌍곡선을 회전시켜서 만든 쌍곡면은?

쌍곡선의 정의가 두 초점에서 거리의 차이가 일정하게 나는 점들의 자취이다. 두 초점의 위치벡터를 각각 $\vec{a}=\overrightarrow{OF}_1$, $\vec{b}=\overrightarrow{OF}_2$라면 쌍곡서의 위치 $\vec{r}$은 

$$ | \vec{r}- \vec{a}| - |\vec{r} - \vec{b}| = \pm\text{const}$$

이다. 쌍곡선이 적당한 매개변수에 의해서 매개화된 경우 이 식을 미분하면

$$ \dot{\vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}- \vec{a}}{|\vec{r}-\vec{a}|} = \dot{\vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{b}}{|\vec{r} - \vec{b}|}$$

$  \frac{\vec{r}- \vec{a}}{|\vec{r}-\vec{a}|}$는 $\overrightarrow{F_1P}$방향의 단위벡터이고, $ \frac{\vec{r}-\vec{b}}{|\vec{r} - \vec{b}|}$는 $\overrightarrow{F_2P}$방향의 단위벡터이므로 위식은

$$ \cos \theta_a = \cos \theta_b$$임을 의미한다. 즉 한 초점($F_2$)으로 입사하는 광선이 쌍곡선의 접선과 이루는 각은 반사되어 다른 초점($F_1$)을 향하는 광선이 접선과 이루는 각도가 같아 빛의 반사의 법칙을 만족한다. 같은 원리로 쌍곡선 한 쪽 내부에서 반대편 초점을 향해서 입사하는 광선은 그 내부의 초점에 모이게 된다.

먼 곳의 별의 한 지점에서 나와 망원경 입구로 들어오는 빛은 거의 평행광선이므로 반사망원경을 쓸 경우 반사거울을 포물면 모양으로 만들면 포물선의 초점에 모이게 된다. 그러나 초점이 빛이 들어오는 경로에 있어 eyepiece를 사용할 수 없으므로  초점 앞에서 작은 거울을 이용해서 직각으로 반사시켜 경통 밖에서 초점이 형성되게 만든 망원경이 뉴턴식 반사망원경이다. 평면거울 대신 초점 근처에 작은 쌍곡면 거울을 놓고 반사경 중심에 뚫린 작은 구멍 밖에 초점이 생기게 만든 반사망원경이 카세그레인식(Cassegrain Telescope) 망원경이다. Hubble 망원경은 기본적으로 카세그레인식 이지만 주 거울을 포물면 대신 쌍곡면을 사용하였다(Ritchey-Chrétien telescope).일반적으로 카세그레인식 망원경이 뉴턴식에 비해서 경통이 짧다고 한다.

포물선은 한 점 (초점: focus)과 주어진  직선(준선: directrix)에 이르는 거리가 같은 점들의 자취다. 좌표를 잘 선택해서 원점이 준선상에 있게 만들자(중요하지는 않지만 포물선을 간략하게 표현할 수 있게 해 준다). 준선에 수직방향의 단위벡터를 $\vec{n}$, 초점의 위치벡터를 $\vec{p}$라면 타원의 방정식은 

$$ |\vec{r} - \vec{p}| = \vec{n} \cdot \vec{r}$$

로 쓰인다(원점이 준선상에 있지 않으면 오른쪽에 상수항만큼이 추가된다). 양변을 미분하면

$$ \dot{\vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{p}}{|\vec{r}-\vec{p}| } = \vec{n} \cdot \dot {\vec{r}}$$

$   \frac{\vec{r}-\vec{p}}{|\vec{r}-\vec{p}| } $가 초점에서 포물선 상의 한 지점까지 단위벡터이므로 왼쪽은 접선벡터 $\dot{\vec{r}}$과의 사이각($\beta$)의 코사인에 비례하고, 오른쪽은 접선과 준선에 수직방향(결국 포물선의 대칭축 방향임)과의 사이각($\alpha$)의 코사인에 비례한다.

$$\cos \beta= \cos \alpha $$

즉, 준선에 수직하게 입사한 빛은 포물선에서 반사되면 반드시 초점을 지나게 됨을 의미한다. 포물면 모양으로 거울을 만들면 평행광선을 초점에 모울 수 있다. 반대로 포물경의 초점에서 발사되는 빛은 주축에 평행한 광선으로 나가게 된다.

초점의 위치가 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$인 타원이 있을 때 두 초점에서 타원상의 한 위치 $\vec{r}$까지 거리의 합은 항상 일정한 값을 가진다.

$$ |\vec{r} - \vec{a}| + |\vec{r} - \vec{b}| = \text{const}$$

타원은 적당한 매개변수를 이용해서 매개화시킬 수 있으므로 이 매개변수에 대해서 윗식을 미분하자.

$$ \dot{\vec{r}} \cdot \frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|} + \dot{ \vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |} = 0$$

$\frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|}$는 초점 $\vec{a}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터이고,  $\frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |} $는 초점 $\vec{b}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터다. 이 두 단위벡터가 $\vec{r}$ 위치에서 접선벡터 $\dot{\vec{r}}$과 이루는 각을 각각 $\theta_a$, $\theta_b$라면

$$ \cos \theta_a + \cos \theta_b = 0$$임을 의미한다. $\cos\theta_a +\cos \theta_b = 2 \cos\frac{\theta_a + \theta_b}{2} \cos \frac{\theta_a -\theta_b}{2}$이므로 

$$ \theta _a + \theta _b = \pi$$

임을 알 수 있다.

두 초점에서 각각 타원의 한 지점까지 연결하는 선분이 그 점에서 접선과 이루는 각이 같으므로, $\theta_a= \pi-\theta_b$, 거울이 타원면 형태의 곡면으로 만들어졌다면 한 초점에서 발사된 빛은 타원에서 반사한 후 다시 다른 초점으로 모일 수 있음을 의미한다. 빛이 움직이는 경로의 길이가 모두 같으므로 한 초점에서 동시에 발사된 빛은 어느 방향을 향하는지에 상관없이 같은 시간에 다른 초점에 모이게 된다. 지붕과 벽면이 타원형으로 설계된 공연장에서 가수가 한 초점에서 노래를 부르면 반대편 초점에 앉은 관객에게는 마이크가 없더라도 다른 위치보다 상대적으로 더 잘 들리게 된다.