풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\vec{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1 (a) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가
반지름 $R$인 대전되지 않은 도체구가 있고 이 도체구의 중심에서 $d>R$만큼 떨어진 위치에 점전하 $Q$가 있다. 도체구의 전위는?
풀이: 영상전하법(method of image)을 사용하면 쉽게 구할 수 있다. 그렇지만 여기서도 Green's reciprocity theorem을 사용하자. 이를 이용하면 동일한 도체 구성에서 서로 다른 두 전하구성이 만드는 전위함수 사이에 하나의 관계를 얻을 수 있다. 우선 동일 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우(구성-1)는 전하 $q$로 도체구로 대전시킨 경우다. 이 경우 전하분포와 전위함수는
$$ \sigma_1 = \frac{q}{4\pi R^2}=\text{const}$$
\begin{align} V_1 (r) = \left\{ \begin{matrix} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} & r \ge R \\ \frac{1}{4\pi \epsilon_0 R} & r \le R\end{matrix} \right. \end{align}도체가 등전위임과 점전하를 도체구에 가까이 접근시킬 때 도체구 표면에서 전하분리가 일어나지만 총 전하량($=0$)은 변하지 않는다는 사실을 이용하면($\int_\text{sphere} \sigma_2 d^2x=0$),
$$ V_2 (R) = \frac{Q }{ q }V_1(d) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 d}$$ 즉, 도체구의 전위는 중심에서 점전하 $Q$ 단독의 전위와 같음을 알 수 있다.왜 이런 값을 갖는가? 영상전하법으로 구할 때 점전하 $q$와 이의 영상전하가 만드는 전위가 도체 구면에서 0이므로(접지된 도체구일 때), 도체구가 일정한 전위를 가지기 위해서는 두 번째 영상전하를 중심에 놓아야 한다. 이 두 번째 영상전하의 크기는 도체구의 알짜 전하가 0이란 사실에 의해서 결정될 수 있는데 앞서 구한 전위는 이 두 번째 영상전하가 만드는 도체구면에서 전위와 같다.
두 극판이 접지된 평행판 축전기가 있다. 이제 아래 극판의 일부분을 전기적으로 분리한 후 전위가 $V$가 되게 만들었다. 이 상황에서 아래 극판에 모인 총 전하는(접지된 부분+ $V$의 전위가 걸린 부분)?
풀이: Laplace 방정식을 풀 수도 있지만 Green's reciprocity theorem(https://kipl.tistory.com/479)을 이용하자. 우선 같은 극판 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우를 찾으면, 아래 극판 전체가 $+\sigma$, 위쪽 극판 전체가 $-\sigma$로 대전된 경우 일 것이다(위쪽 극판 접지). 이 경우 전위함수는
$$V_1(z) = \frac{\sigma }{\epsilon_0} (d-z)~~~~0 \le z \le d$$
우리가 구하고자 하는 계에서 아래 극판의 정사각형 내부에 있는 총전하를 $Q_1$, 극판 나머지 부분에 분포한 총전하를 $Q_2$로 하자. 그리고 전위함수가 $$ V_2(x, y, z) = \left\{ \begin{matrix} V, & |x| \le a, ~|y|\le a ,~z=0 \\ 0, &\text{otherwise}\end{matrix}\right.$$ 로 주어지므로
주어진 공간에서 전하 분포가 주어지면 전위 함수가 결정이 된다. 전하 분포가 $\rho_1$일 때 전위 함수를 $V_1$, 전하 분포가 $\rho_2$일 때 전위 함수를 $V_2$라고 하자. 그러면 Gauss 법칙과 발산 정리를 사용해서 다음의 Green's reciprocity theorem를 증명할 수 있다. $\nabla \cdot \vec{E}_i = \rho_i / \epsilon_0$, $\vec{E}_i = -\nabla V_i$ 이므로
이 식을 이용하면 같은 공간에서 전하 배치의 단순성 때문에 전위를 구하기 쉬운 경우를 이용해서 더 복잡한 전하 배치 상황에서 전위나 또는 전위가 주어진 경우 전하 등에 대한 정보를 얻을 수 있다.
간단히 예로 평행판 축전기를 살펴보자. 두 극판을 접지시키고 사이에 점전하를 넣으면 각 극판에는 반대 부호의 전하가 유도된다. 가우스 법칙을 쓰면 그 둘의 합은 $-q$ 임을 쉽게 알 수 있다. 그러면 왼쪽과 오른쪽에는 각각 얼마의 전하가 모일까? 물론 $q$에 가까운 쪽 극판에 더 많은 전하가 몰릴 것은 예상할 수 있다.
이 문제는 도체와 점전하이므로 영상 전하법(method of image)을 이용해서 풀 수도 있지만, Green's reciprocity theorem를 사용하는 것이 더 간단하다. 이를 위해 좀 더 전하분포가 단순한 구성을 만들자. 접지를 없애고 한 극판 ($x=0$)에는 균일하게 양전하를, 반대 극판($x=d$)에는 동일한 양의 음전하로 균일하게 대전시키면(구성 1) 사이에서 전위는 $$V_1(x)= V_0 \left( 1- \frac{x}{d}\right) $$로 쉽게 구할 수 있다. 점전하를 넣은 경우(구성 2)는 구성 1의 전하가 있는 극판에서 전위를 안다. 따라서 reciprocity theorem을 쓰면 구성 2일 때 극판에 모이는 전하가 얼마인가를 알 수 있다. 구성 1의 $\rho_1$은 극판에서만 0이 아니고, 구성 2의 $V_2$는 접지때문에 극판에서 $V_2(x=0)=V_2(x=d)=0$이므로
임을 알 수 있다. 즉 점전하 $q$가 가까이 있는 극판에 더 많은 반대 부호의 전하가 유도된다.
또 다른 예는 반지름 $R$인 도체구를 접지시키고 중심에서 $d>R$만큼 떨어진 지점에 점전하 $q$을 가져다 놓았을 도체구에 유도되는 전하($q'$)를 구하는 문제다(구성 2). 접지가 안된 도체구에 전하를 주입하는 경우는 전하 분포와 전위는 쉽게 구할 수 있다(구성 1). 따라서 Green's reciprocity 정리를 이용하면 평행판 축전기와 마찬가지로 쉽게 해결할 수 있다. 물론 이 경우도 영상 전하법을 이용해도 된다.
$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = V_1(R) \int_{r=R} \rho_2 d^3x + V_1(d) \int_{r>R} q\delta(\vec{r}-d\hat{k}) d^3 x= q'\frac{kQ}{R} + q\frac{kQ}{d} $$ 이므로 둘을 비교하면 $$q' = -\frac{R}{d} q$$을 얻는다.
Green의 reciprocity 정리를 이용한 3 번째 예로는 전하가 없는 영역의 한 지점에서 전위는 그 점을 중심으로 하는 구면(전하가 없는 영역에 포함되어야 한다) 위에서 전위의 평균값과 같다는 정리의 증명이다(전하가 없는 영역에서 전위가 Laplace 방정식을 만족하는 조화함수임을 고려하면 당연한 성질이다). 이는 전위의 최대나 최소는 항상 전하가 있는 경계에서 나타남을 의미한다.
이제 전하 구성2는 구성1의 한 점(편의상 원점으로 잡으면 된다)을 중심으로 하는 작은 구면을 생각하자(구면은 물론 구성 1의 전하없는 영역에 포함되어야 한다). 구면을 균일하게 대전시키고, 중심에는 구면의 총전하와 정확히 반대 부호의 점전하가 놓인 상황을 고려하자: $\rho_2 = -q\delta(\vec{r})+ \frac{q}{4\pi R^2}\delta(r-R)$. 그러면 구면 밖에서는 전위가 0이다.
