태양계 행성의 hodograph

지상에서 포물선 운동을 하는 물체의 속도 벡터를  모두 모아 시작을 같게 만들면 속도 벡터의 끝이 그리는 자취(hodograph라 함)는 직선이 된다. 이는 속도의 차이가 가속도이고 지상에서 중력가속도는 크기와 방향이 일정하기 때문이다.

$$\vec {v}(t) =\vec {v}_0 - gt\hat {j} \qquad\to \qquad \Delta \vec{v} = -g\Delta t\hat{j}$$

태양계에서 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도상에서 움직인다. 그러면 행성의 각 지점에서 속도 벡터의 시작점을 한 지점에 모을 때 벡터의 끝점이 그리는 궤적은 무엇일까? 원 궤도를 그리면 속력이 일정하므로 당연히 원이 될 것으로 예상할 수 있지만,  타원 궤도에서는 속력은 에너지 보존을 고려하면 일정할 수 없다. 그런데 타원궤도를 그리는 경우에도 속도의 hodograph는 원궤도에서와 마찬가지로 벡터 공간에서 원으로 표현된다. 왜 그럴까?

행성이 받는 중력은 태양으로부터 거리의 제곱에 반비례하므로 운동방정식을 사용하면 속도의 변화량의 크기는

$$ \frac {d\vec {v}}{dt}= -\frac {GM}{r^2 }\hat {r} \quad \rightarrow\quad |\Delta \vec {v}| =\frac {GM}{r^2} \Delta t$$

임을 얻을 수 있다. 또한  태양의 중력이 중심력이므로 각운동량 보존(또는 Kepler의 제 2법칙)된다는 사실에서 마찬가지로 속도 변화량의 크기에 대한 식(각도 $\varphi$는 태양을 원점으로 하여 측정한다)

$$ L =m |\vec{r}\times \vec {v}| = m r^2 \frac {d\varphi}{dt}  \quad\rightarrow\quad \Delta\varphi =\frac {L}{mr^2}\Delta t$$을 얻을 수 있다. 두 식에서 $\Delta t / r^2$을 소거하면,

$$ |\Delta \vec{v}| = \frac {GMm}{L} \Delta \varphi$$이고, 각운동량 크기가 일정하므로 속도 변화량의 크기 $|\Delta\vec{v}|$가 회전각의 증가분 $\Delta \varphi$에 비례함을 보여준다. 이는 태양을 중심으로 행성 궤도를 일정한 각도로 나눌 때 각 인접 지점과의 속도 변화의 크기가 항상 일정함을 의미한다. 그리고 속도 변화(가속도)는 항상 태양을 향하므로 인접 지점에서 속도변화 사이의 사이각도 항상 $\Delta\varphi$로 일정하다. 기하학적으로 일정한 각도로 분할된 궤도상의 각 지점에서 속도 벡터를 가져와서 시작을 (벡터 공간의) 한 지점에 모으면 $|\Delta\vec{v}_i |= |\Delta \vec{v}_{i+1}|$이고 $\angle( \Delta \vec{v}_i \Delta \vec{v}_{i+1}) =\Delta \varphi =\text{const}$이므로 $\{\Delta\vec{v}_i\}$는 정$2\pi/\Delta\varphi$각형의 변을 이루는다.

따라서 행성의 hodograph는 원이 된다.  hodograph의 반지름은 근일점에서 속력 $v_P$와 원일점에서 속력 $v_A$의 절반임으로 표현되는데 $v_R = (v_A + v_P)/2 = \frac {GMm}{L}$임을 근일점, 원일점에서 역학적 에너지 보존과 각운동량 보존식을  이용해서 확인할 수 있다.

Hograph를 보면 이심률(eccentrisity)의 의미를 기하학적으로 명확하게 파악할 수 있다.

$$\frac{1-e}{1+e} = \frac{r_P}{r_A}=\frac{ v_A}{v_P}$$

설명 동영상:

youtu.be/xdIjYBtnvZU