진자의 주기와 진폭(Amplitude Dependance of the Period of a Pendulum)

진자의 주기를 구할 때 보통 작은 진동 근사를 사용한다. 진자의 진폭이 크지 않는 경우 주기는 진폭에 무관하게 일정한 값 $T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$를 갖는다. 그럼 진폭이 커지는 경우는 어떻게 될까?

운동 방정식을 써도 되지만 역학적 에너지가 보존되므로 이를 이용하면(회전 관성: $I=m{\ell }^2$, 진폭=${\theta }_0$)

$$\frac{1}{2}I(\frac{d\theta }{dt}{)}^2+mg\ell (1-\cos \theta )=\text{const}=mg\ell (1-\cos {\theta }_0)$$$$\to (\frac{d\theta }{dt}{)}^2=\frac{2g}{\ell }(\cos \theta -\cos {\theta }_0).$$

우변을 ${\theta }_0,\theta$에 대해서 전개하면

$$\begin{array}{rl}(\frac{d\theta }{dt}{)}^2& =\frac{g}{\ell }({\theta }_0^2-\frac{1}{12}{\theta }_0^4-{\theta }^2+\frac{1}{12}{\theta }^4+...)\\ & =\frac{g}{\ell }({\theta }_0^2-{\theta }^2)(1-\frac{1}{12}({\theta }_0^2+{\theta }^2)+...)\end{array}$$로 써지는데 작은 각 근사를 벗어났을 때 가장 큰 기여를 하는 $-({\theta }_0^2+{\theta }^2)/12$항이  음의 기여를 한다. 이는 같은 위치에서 작은 각 근사를 할 때보다 각속도가 더 작아짐을 의미한다. 따라서 진자가 더 느리게 움직여서 주기가 길어질 것이라는 예측을 구체적인 계산 없이도 할 수 있게 된다.

 

이제 주기를 구해보자. 에너지 보존식에서 변수 분리를 해서 적분하면 주기에 대한 식

$$T=\int dt=4\sqrt{\frac{\ell }{2g}}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{\cos \theta -\cos {\theta }_0}}$$을 얻는다. 여기서 $\sin (\theta /2)=\sin ({\theta }_0/2)\sin (\phi )$로 치환을 하면

$$T=4\sqrt{\frac{\ell }{g}}{\int }_0^{\pi /2}\frac{d\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }},k^2={\sin }^2({\theta }_0/2).$$

진폭이 작은 경우(${\theta }_0\ll 1\Rightarrow k\to 0)$는 적분 값이 $\frac{\pi }{2}$이므로 $T\to 2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$가 됨을 확인할 수 있다.  위 적분은 타원 적분이라고 부르고 $k$가 주어지면 수치 연산을 통해서 그 값을 얻을 수 있다. 

 

좀 더 직관적으로 진폭에 따른 주기의 변화를 보기 위해서 (진자의 경우 $k^2\le \frac{1}{2}$이므로) 급수 전개를 하면, 

$$\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=1+\frac{1}{2}{k}^2{\sin }^2\phi +\frac{1}{2}\frac{3}{2}{k}^4{\sin }^4\phi +\dots$$

이므로 주기는

$$T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}[1+(\frac{1}{2}{)}^2{k}^2+(\frac{1}{2}\frac{3}{4}{)}^2{k}^4+\dots ](k=\sin \frac{{\theta }_0}{2})$$

로 표현된다. 이 식은 진자의 진폭(${\theta }_0$)이 커지면 주기도 길어진다는 것을 명확히 보여준다.

강의동영상을 볼 수 있는 곳:

youtu.be/34zcw_nNFGU