저울의 눈금은?

그림처럼 위아래로 놓인 두 개의 물그릇이 펌프로 연결하였다. 펌프는 물을 일정한 비율로 위로 올리거나 밑으로 내릴 수 있다. 아래에 있는 물이 위로 올라가는 동안 저울의 눈금은? 단, 펌프의 작동이 멈추었을 때 저울의 눈금(무게)은 10 kg를 나타낸다. 

1. 10 kg
2. 10 kg 보다 작다
3. 10 kg 보다 크다.

반대로 위에 있는 물이 아래로 내려오는 동안 저울의 눈금은?

 

물이 이동하면 질량중심이 변한다. 질량중심이 가속을 하고 있으면 힘의 필요한데 이 힘이 저울의 눈금에 영향을 준다. 물이 위로 올라가는 경우를 보자. 계 전체 질량을 $M=W/g$, 단위 시간당 물의 이동량을 $k~[\text{kg/s}]$, 물그릇의 단면적을 $A$, 높이차를 $H$라 하면, $dt$초 동안에 물의 이동 질량은 $dm = kdt$이므로 질량중심의 변화는 ($y_1$=위쪽 수면 높이, $y_2$=아래쪽 수면 높이)

$$ dy_{cm} = \frac{ dm y_1 + (-dm) y_2}{M} =\frac{dm( y_1 - y_2)}{M} \quad \rightarrow ~~v_{cm} = \frac{k}{M} ( y_1 - y_2)$$ 

위쪽 그릇의 수면 높이 변화율은 (질량=밀도*밑면적*높이)

$$\frac{dy_1}{dt} = + \frac{k}{\rho A}$$

아래쪽 수면 높이 변화율은  

$$\frac{dy_2}{dt} = - \frac{k}{\rho A}$$

따라서 질량중심 가속도는 

$$ a_{cm} = \frac{k}{M} ( \dot{y}_1 -\dot{y}_2) = \frac{k^2}{\rho AM}$$

계 전체의 외력은 중력과 저울이 작용하는 수직항력이므로

$$M a_{cm } = \sum F_y = -  W +N  \quad ~~\therefore N = W + \frac{k^2}{\rho A}$$

임을 알 수 있다.  물이 내려가는 경우는 질량중심이 아래로 가속한다.