베르누이 방정식의 유도

 

 

보통 베르누이 방정식은 에너지 보존을 써서 유도한다. 에너지 보존식이 뉴턴의 운동방정식에서 나온 결과이므로 베르누이 방정식 또한 운동방정식에서 직접 유도할 수 있다(steady, incompressible, frictionless flow). 유체 입자가 움직이는 경로인 유선 상의 한 지점을 고려하자. 이 지점에서 가속도 벡터는 유선의 접선 방향과 그 지점에서 곡률 중심을 가리키는 법선 방향 성분으로 분해가 가능하다. 유선은 유선의 길이 ($s$)를 매개변수로 써서 표현할 수 있으므로 이를 이용하면 가속도의 접선 성분은 

$$a_t=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dv}{ds}v=\frac{1}{2}\frac{d{v}^2}{ds}$$

가속도의 법선 성분은 구심가속도이므로 그 지점에서 곡률 반지름이 $R$이면

$$a_n=\frac{v^2}{R}$$

유선상의 한 지점을 중심으로 하는 부피가 $dV=dsdA$인 미소 박스를 생각하자.

이 미소 박스에 작용하는 접선 방향의 알짜힘은 박스 좌우에서 작용하는 압력의 차이가 만드는 힘과 중력의 접선성분의 합으로 주어진다:

$$\begin{array}{rl}\sum F_t& =-P(s+ds/2)dA+P(s-ds/2)dA-\rho g\sin \theta dV\\ & =-(\frac{dP}{ds}+\rho g\sin \theta )dV\end{array}$$

미소 부피 속의 유체 질량이 $dm=\rho dV$이므로 접선 방향의 운동방정식은

$$-\frac{dP}{ds}-\rho g\sin \theta =\frac{1}{2}\rho \frac{d{v}^2}{ds}$$

그런데 유체는 비압축성이고, $\sin \theta =dz/ds$이므로 다음과 같이 베르누이 방정식을 얻을 수 있다:

$$\begin{array}{c}\frac{d}{ds}(P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz)=0\\ \text{or}P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{const}\end{array}$$

법선 방향의 운동방정식도 같은 방법으로 유도할 수 있는데, 법선 방향의 압력 변화를 $dP/dn$이라면

$$\frac{dP}{dn}+\rho \frac{v^2}{R}+\rho g\frac{dz}{dn}=0$$

이 방정식을 사용하기 위해서는 유선의 각 위치에서의 곡률 반지름에 대한 정보가 주어야 한다.