왜 땅속은 여름에 시원하고 겨울에는 따뜻한가?

지구 표면의 온도는 1년을 단위로 거의 주기적으로 변한다. 그럼 땅속의 온도는 시간과 깊이에 따라 어떻게 변할까? 지표면이 태양으로부터 받은 열은 일부는 반사되고 일부는 땅속으로 전달된다. 땅속에서 온도의 변화는 열방정식에 의해서 표현할 수 있다. 땅속의 온도분포 $u$가 지표면에서 깊이 $x$와 시간 $t$에만 의존한다면 $u(x,t)$가 만족하는 열방정식은(거리척도를 적당하게 잡아 계수를 단순화시킨다)

$$ u_t(x,t) = u_{xx} (x,t)$$

로 주어진다. $u(x,t)$가 $t$에 대해서 주기가 $1$년인 주기함수이므로 Fourier 급수를 이용해서 방정식을 풀도록 하자. 

\begin{gather} u(x,t) = \sum _{n=-\infty}^{\infty} C_n (x) e^{i 2\pi n t} \\ C_n(x)= \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2\pi n t} dt \end{gather}

Fourier 계수 $C_n(x)$를 두 번 미분하면

\begin{align} \frac{d^2 C_n(x)}{dx^2} & = \int_0^1 u_{xx}(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= \int_0^1  \frac{ \partial u (x,t)}{\partial t} e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2\pi n \int_0^1 u(x,t) e^{-i 2 \pi n t} dt \\ &= i 2 \pi n C_n(x)\end{align}

이므로 $C_n$은 다음의 방정식을 만족해야 한다.

$$ \frac{d^2 C_n (x)}{dx^2}  = i 2\pi n C_n (x) $$

깊이 $x$가 증가할 때 온도가 발산하지 않는 조건을 고려하면 이 방정식의 해는 

$$ C_n (x) = \left\{ \begin{matrix}  A_n e^{- \sqrt{\pi n} (1+i)x}~~~n \ge 0 \\A_n e^{ -\sqrt{\pi |n|}(1-i)x}~~~n<0 \end{matrix} \right.$$

로 쓸 수 있음을 쉽게 알 수 있다. 따라서 열방정식의 해 $u(x,t)$는

$$ u(x,t) = \sum _{n=- \infty}^{\infty} A_n e^{- \sqrt{\pi  |n| }x} e^{ i (2\pi n t - \text{sign}(n) \sqrt{\pi |n| } x) }   $$

처럼 쓰인다. 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 계절에 따른 온도변화가 점점 작아진다. 그리고 깊이에 따른 위상이 추가되므로 지표면에서의 온도변화와 다른 양상을 가지게 된다. 이를 구체적으로 보기 위해서 계절에 따른 지표면에서 온도 $u(x=0,t)$을 간단히 시간 $t$에 대한 사인함수로 근사하자. 이 경우 평균온도가 0인데, 평균온도가 0이 아니 경우는 여기서 구한 해에  평균온도만큼을 더해주면 된다.

$$u(0, t) = \sin (2\pi t)$$

지표면에서 Fourier 계수는 

\begin{align} C_n(0) =A_n  &= \int_0^1 u(0,t)   e^{-i 2\pi n t} dt \\ &=\left\{  \begin{matrix} \pm \frac{1}{2i} ~~~n=\pm 1 \\ 0~~\text{otherwise}  \end{matrix} \right. \end{align}

따라서 해는 

\begin{align} u(x,t) &= \frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi}(1+i)x} e^{i2 \pi t} -\frac{1}{2i} e^{-\sqrt{\pi} (1-i)x }e^{-i 2\pi t} \\ &= e^{-\sqrt{\pi} x} \sin (2 \pi t - \sqrt{\pi}x) \end{align}

해를 보면 온도는 깊이에 따라 감쇄를 하여 온도변화가 점점 사라지고, 시간에 대해서는 깊이에 따른 위상변화가 생긴다. 특히 깊이 $x= \sqrt{\pi}$에서는 위상이 $\pi$ 만큼 변해서 지표면에서의 시간에 대한 온도변화와 완전히 반대로 행동한다. 즉, 겨울에는 따뜻하고 여름에는 시원해진다. 물론 이 깊이는 땅의 열확산계수($\kappa$)에 따라 달라진다. 열확산계수를 고려하려면 $x \to x/\sqrt{\kappa}$을 사용하면 된다. 땅의 열확산계수가 $\kappa \sim 0.1\times 10^{-6} \rm{m^2 / s=3.15 m^2/yr}$ 정도이므로 $x=\sqrt{\kappa \pi} \sim 3 \rm m$이다. 즉, 땅 속 깊이 $x\sim 3\rm m$ 정도이면 온도변화는 지표면의 $e^{-\pi}=0.043$배 정도로 줄어들고 겨울이 여름보다 상대적으로 더 따뜻하게 된다.

이는 물리적으로 쉽게 이해를 할 수 있는 현상으로 깊이 들어갈수록 온도차가 작아져서 열전달이 느려지므로 상대적으로 빨리 변하는 표면에서의 온도변화에 맞추지 못하여 변화가 지연되어 나타나는 것으로 볼 수 있다.