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카트에 가벼운 막대로 연결된 물체가 그림과 같이 수평으로 있다가 운동을 시작한다. 물체가 가장 아래에 내려왔을 때 막대에 걸리는 장력은? 마찰은 무시한다.

풀이:

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1. 수평방향의 외력이 없고, 처음 정지상태였으므로 질량중심의 수평 위치는 고정된다. 오른쪽 그림처럼 물체가 가장 아래에 내려왔을 때 속도를 v(수평 왼쪽)라면 카트의 속도는 V=mMv(수평 오른쪽)이다. 

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 

mgL=12MV2+12mv2v2=Mm+M2gL

3. 오른쪽 그림과 같은 상황에서 카트의 가속도는 acart=0이므로 이 순간 카트와 같은 속도로 움직이는 관성계에서 보면 물체는 v+V=m+MMv의 속도를 가지고 수직원운동을 한다. 이 때 장력과 중력이 구심력 역할을 하므로

Tmg=m(v+V)2L=mL(m+MM)2Mm+M2gL=2mgm+MM

이므로 

T=mg(3+2mM)

4. 카트와 물체의 질량이 같은 경우: T=5mg, 카트가 매우 무거워서 고정이 되는 경우는 T=3mg이다. Mm이면 M이 매우 빠르게 움직이므로 M이 볼 때 m도 매우 빠르게 원운동을 하므로 구심력이 매우 커져야 하고, 따라서 장력도 매우 커져야 한다.

풀이2:

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1. 막대가 수평에 대해 θ만큼 기울어진 상태일 때 장력을 구해보자. 이 때 카트의 가속도는 ac=Tcosθ/M. 카트가 움직이는 수평속도를  vM=u라면, 카트에서 볼 때 물체는 원운동을 하므로 물체의 속도를 vm=u+v로 쓰자. 여기서 v는 막대에 수직한 방향이다. 카트와 같이 움직이는 계는 비관성계이므로 물체는 관성력 mac=mTcosθ/M(왼쪽)을 추가로 받고, 이 계에서 볼 때 물체는 v의 속력으로 원운동을 한다. 원운동에 필요한 구심력에는 장력, 관성력의 막대방향 성분, 중력의 막대방향 성분이 기여한다.

Fcentripetal=T+mMTcosθcosθmgsinθ=mv2L

  T=mgsinθ1+(m/M)cos2θ(1+v2gLsinθ) 

2. 카트와 물체의 운동에너지는 상대 운동에너지와 질량중심 운동에너지의 합이다. 수평방향 외력이 없으므로 질량중심의 속도는 수직 성분 밖에 없고 크기는 vcm=mm+Mvcosθ이다(질량중심의 수평성분은 상쇄되어야 한다). 그리고 카트와 물체 모두 수평방향으로 u의 속도성분이 있으므로 상대속도의 크기는 vrel=|vmvM|=v임을 알 수 있다. 따라서 

12μv2rel+12(m+M)v2cm=mgLsinθ 여기서 μ=mMm+M는 환산질량이다.

  v2=m+MM2gLsinθ1+(m/M)cos2θ

이므로 

T=mgsinθ1+(m/M)cos2θ(1+m+MM21+(m/M)cos2θ)

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